Ache os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
e encontre uma fórmula para
em termos de n. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais
; (2) obter uma fórmula de
em termos de
; (3) verificar se a série infinita é convergente ou divergente e, se convergente, achar a sua soma.
A informação dada é a soma
A informação dada é a soma
Também vamos usar a definição de soma parcial:
Passo 2
Vamos olhar para a forma geral do termo. Reescrevo o termo
de maneira que fique evidente um fator constante vezes uma potência:
Dessa forma vemos que os termos formam uma progressão geométrica: o primeiro termo da soma (quando
) é
e a razão geométrica é
(Verificação rápida: para
o termo é
; para
é
, etc.)
Passo 3
Agora vamos recordar e provar a fórmula da soma parcial de uma série geométrica. Se temos uma sequência geométrica com primeiro termo
e razão
, a soma das primeiras
parcelas é
Multiplicando por
obtemos
Subtraindo as duas equações:
ou seja
Desde que
, isolamos
:
Aqui
é o primeiro termo da soma (não confundir com índice),
é a razão e
é o número de termos somados.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com
e
:
Calculo o denominador
. Portanto
Simplificando o fator
, obtemos
Posso reescrever de forma alternativa e frequentemente mais direta:
Ambas as formas são equivalentes.
Passo 5
Agora calculo os quatro primeiros valores
usando a fórmula final
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Mostrei cada passo de simplificação para você poder reproduzir na prova sem calculadora (basta transformar
para o denominador apropriado e subtrair).
Passo 6
Para ver se a série infinita converge, calculamos o limite
Como
quando
(porque
), o limite é
Portanto a série é convergente e a soma da série infinita é
. Força aí — você já tem a fórmula e sabe calcular qualquer soma parcial!
Resposta
Série convergente; soma da série infinita