Ache os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \left\{S_{n}\right\} e encontre uma fórmula para S_{n} em termos de n. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{n+1}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) encontrar os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais \{S_n\}; (2) obter uma fórmula de S_n em termos de n; (3) verificar se a série infinita é convergente ou divergente e, se convergente, achar a sua soma.
A informação dada é a soma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{4^{\,n+1}}.
Também vamos usar a definição de soma parcial:
S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{3}{4^{\,k+1}}.

Passo 2

Vamos olhar para a forma geral do termo. Reescrevo o termo \dfrac{3}{4^{\,n+1}} de maneira que fique evidente um fator constante vezes uma potência:
\frac{3}{4^{\,n+1}}=\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{4^{\,n}}=\left(\frac{3}{16}\right)\left(\frac{1}{4}\right)^{\,n-1}.
Dessa forma vemos que os termos formam uma progressão geométrica: o primeiro termo da soma (quando n=1) é
a_1=\frac{3}{4^{2}}=\frac{3}{16},
e a razão geométrica é
r=\frac{1}{4}.
(Verificação rápida: para n=1 o termo é \tfrac{3}{16}; para n=2 é \tfrac{3}{64}, etc.)

Passo 3

Agora vamos recordar e provar a fórmula da soma parcial de uma série geométrica. Se temos uma sequência geométrica com primeiro termo a e razão r, a soma das primeiras n parcelas é
S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{\,n-1}.
Multiplicando por r obtemos
rS_n=ar+ar^2+\cdots+ar^{\,n}.
Subtraindo as duas equações:
S_n-rS_n=a-ar^{\,n},
ou seja
(1-r)S_n=a(1-r^{\,n}).
Desde que r\neq 1, isolamos S_n:
S_n=\frac{a\bigl(1-r^{\,n}\bigr)}{1-r}.
Aqui a é o primeiro termo da soma (não confundir com índice), r é a razão e n é o número de termos somados.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com a=a_1=\dfrac{3}{16} e r=\dfrac{1}{4}:
S_n=\frac{\dfrac{3}{16}\bigl(1-(\tfrac{1}{4})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{4}}.
Calculo o denominador 1-\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}. Portanto
S_n=\frac{3}{16}\cdot\frac{1-(\tfrac{1}{4})^{n}}{\tfrac{3}{4}}.
Simplificando o fator \dfrac{3}{16}\div\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{16}\cdot\dfrac{4}{3}=\dfrac{1}{4}, obtemos
S_n=\frac{1}{4}\bigl(1-(\tfrac{1}{4})^{n}\bigr).
Posso reescrever de forma alternativa e frequentemente mais direta:
S_n=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{\,n+1}}.
Ambas as formas são equivalentes.

Passo 5

Agora calculo os quatro primeiros valores S_1,S_2,S_3,S_4 usando a fórmula final \displaystyle S_n=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{\,n+1}}.
  • Para n=1:
S_1=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{2}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{16}=\frac{4-1}{16}=\frac{3}{16}.
  • Para n=2:
S_2=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{3}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{64}=\frac{16-1}{64}=\frac{15}{64}.
  • Para n=3:
S_3=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{4}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{256}=\frac{64-1}{256}=\frac{63}{256}.
  • Para n=4:
S_4=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{5}}=\frac{1}{4}-\frac{1}{1024}=\frac{256-1}{1024}=\frac{255}{1024}.
Mostrei cada passo de simplificação para você poder reproduzir na prova sem calculadora (basta transformar 1/4 para o denominador apropriado e subtrair).

Passo 6

Para ver se a série infinita converge, calculamos o limite
\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{\,n+1}}\right).
Como \left(\tfrac{1}{4}\right)^{n+1}\to 0 quando n\to\infty (porque |r|=\tfrac{1}{4}<1), o limite é
\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{4}-0=\frac{1}{4}.
Portanto a série é convergente e a soma da série infinita é \dfrac{1}{4}. Força aí — você já tem a fórmula e sabe calcular qualquer soma parcial!

Resposta

S_1=\dfrac{3}{16},\;S_2=\dfrac{15}{64},\;S_3=\dfrac{63}{256},\;S_4=\dfrac{255}{1024}
S_n=\frac{1}{4}-\frac{1}{4^{\,n+1}}
Série convergente; soma da série infinita =\dfrac{1}{4}

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