Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-5)^{2 n}}{n^{2} 9^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-5)^{2 n}}{n^{2} 9^{n}}
é convergente ou divergente. Informações dadas:
  • A série é uma soma infinita com termo geral \dfrac{(-5)^{2n}}{n^{2}9^{n}}.
  • A pergunta é única: decidir convergência ou divergência.

Passo 2

Primeiro simplificar o termo geral para ver sua forma mais clara. Note que
(-5)^{2n} = \big((-5)^2\big)^n = 25^n.
Portanto o termo geral da série fica
a_n=\frac{25^n}{n^{2}9^{n}}=\frac{\left(\dfrac{25}{9}\right)^n}{n^2}.

Passo 3

Lembrete importante (teste do termo geral): uma condição necessária para que uma série \sum a_n seja convergente é que o termo geral tenda a zero:
\text{Se }\sum a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe, ou é infinito), então a série diverge.

Passo 4

Calcular o comportamento de a_n quando n\to\infty. Trabalhar com o logaritmo torna a comparação de crescimentos mais clara. Tome o logaritmo natural de a_n:
\ln a_n = \ln\!\left(\frac{\left(\dfrac{25}{9}\right)^n}{n^2}\right) = n\ln\!\left(\frac{25}{9}\right) - 2\ln n.
Note que \ln\!\left(\dfrac{25}{9}\right)>0 porque \dfrac{25}{9}>1. O primeiro termo n\ln\!\left(\dfrac{25}{9}\right) cresce linearmente em n, enquanto 2\ln n cresce muito mais devagar (logaritmicamente). Portanto
\lim_{n\to\infty} \ln a_n = +\infty,
o que implica
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.

Passo 5

Pelo teste do termo geral (Passo 3), como o termo geral não tende a zero (pelo contrário, tende a +\infty), a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge.
(Observação extra curta: alternativamente, o teste da razão dá \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{25}{9}\cdot\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2\to\dfrac{25}{9}>1, indicando também divergência.)

Resposta

Divergente.

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