Se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe, ou é infinito), então a série diverge.
Passo 4
Calcular o comportamento de a_n quando n\to\infty. Trabalhar com o logaritmo torna a comparação de crescimentos mais clara. Tome o logaritmo natural de a_n:
\ln a_n = \ln\!\left(\frac{\left(\dfrac{25}{9}\right)^n}{n^2}\right) = n\ln\!\left(\frac{25}{9}\right) - 2\ln n.
Note que \ln\!\left(\dfrac{25}{9}\right)>0 porque \dfrac{25}{9}>1. O primeiro termo n\ln\!\left(\dfrac{25}{9}\right) cresce linearmente em n, enquanto 2\ln n cresce muito mais devagar (logaritmicamente). Portanto
\lim_{n\to\infty} \ln a_n = +\infty,
o que implica
\lim_{n\to\infty} a_n = +\infty.
Em particular \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0.
Passo 5
Pelo teste do termo geral (Passo 3), como o termo geral não tende a zero (pelo contrário, tende a +\infty), a série não pode convergir. Conclusão: a série diverge.
(Observação extra curta: alternativamente, o teste da razão dá \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{25}{9}\cdot\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^2\to\dfrac{25}{9}>1, indicando também divergência.)