Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n{2}\right){n}}
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n{2}\right){n}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
O que se pede: determinar se a série é convergente ou divergente. Informação útil explícita: o termo geral é
Passo 2
Escolha do método (sem resolver ainda): como o termo geral
tem potências com expoente
(ou seja, algo elevado a
), o Teste da Raiz (também chamado de Teste de Cauchy) é o mais natural — ele lida diretamente com a enésima raiz de
. Vou usar esse teste porque transforma potências em fatores simples, facilitando o cálculo do limite que decide convergência.
Passo 3
Enunciado do Teste da Raiz (explicado): para uma série com termo geral
(assumindo
no nosso caso),
- Se
, a série converge absolutamente (logo converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Aqui
significa
. Vou calcular esse limite.
Passo 4
Calcular a enésima raiz do termo geral:
Para encontrar o limite quando
, divido numerador e denominador por
:
Como
quando
, segue que
Passo 5
Interpretação do resultado pelo Teste da Raiz: obtivemos
Pelo teste, a série converge absolutamente. Uma intuição extra (opcional): para grandes
temos
, ou seja, o termo geral comporta-se como uma série geométrica de razão
, que é convergente.
Resposta
Converge absolutamente (logo converge).