Determine se a série é convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n{2}\right){n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n^{2}\right)^{n}}.
O que se pede: determinar se a série é convergente ou divergente. Informação útil explícita: o termo geral é
a_n=\frac{n^{2 n}}{\left(1+2 n^{2}\right)^{n}}.

Passo 2

Escolha do método (sem resolver ainda): como o termo geral a_n tem potências com expoente n (ou seja, algo elevado a n), o Teste da Raiz (também chamado de Teste de Cauchy) é o mais natural — ele lida diretamente com a enésima raiz de a_n. Vou usar esse teste porque transforma potências em fatores simples, facilitando o cálculo do limite que decide convergência.

Passo 3

Enunciado do Teste da Raiz (explicado): para uma série com termo geral a_n (assumindo a_n\ge 0 no nosso caso),
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui \sqrt[n]{a_n} significa (a_n)^{1/n}. Vou calcular esse limite.

Passo 4

Calcular a enésima raiz do termo geral:
\sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{n^{2 n}}{(1+2n^{2})^{n}}\right)^{1/n} =\frac{n^{2}}{1+2n^{2}}.
Para encontrar o limite quando n\to\infty, divido numerador e denominador por n^{2}:
\frac{n^{2}}{1+2n^{2}}=\frac{1}{\dfrac{1}{n^{2}}+2}=\frac{1}{2+\dfrac{1}{n^{2}}}.
Como \dfrac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Interpretação do resultado pelo Teste da Raiz: obtivemos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{2}<1.
Pelo teste, a série converge absolutamente. Uma intuição extra (opcional): para grandes n temos a_n\approx\left(\tfrac{1}{2}\right)^n, ou seja, o termo geral comporta-se como uma série geométrica de razão \tfrac{1}{2}, que é convergente.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge).

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