Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
. - Devemos classificar a convergência (absoluta, condicional ou divergente) e provar a afirmação.
Passo 2
Vou explicar rapidinho os conceitos que precisamos, de um jeito bem direto:
- Uma série
é absolutamente convergente se a série de módulos converge. - Se
converge mas diverga, então é condicionalmente convergente. - Se
não converge, dizemos que é divergente.
Para testar a convergência da série de módulos
vamos usar um teste prático e muito útil: o Teste da Razão (d’Alembert).
Passo 3
Enunciado do Teste da Razão (versão prática que usaremos):
se é uma sequência de termos positivos e
se
existe, então
- se
, a série converge; - se
, a série diverga; - se
, o teste é inconclusivo.
Aqui vamos aplicar o teste com
.
Passo 4
Calculemos a razão
. Em forma clara:
Logo
Agora tomamos o limite quando
:
Como
, pelo Teste da Razão a série
converge. Ou seja, a série dos módulos converge.
Passo 5
Como a série dos módulos
converge, concluímos que a série original
é absolutamente convergente. Lembrando uma consequência importante: toda série absolutamente convergente é convergente (no sentido usual).
Para completar com um bônus útil (não exigido, mas que ajuda a fixar a ideia): podemos identificar as somas usando a série exponencial. Sabendo que
temos
e também
Esses cálculos confirmam que ambas as séries (a com sinais e a de módulos) são finitas.
Passo 6
Resumo final e motivação rápida: aplicar o Teste da Razão a
dá um limite zero porque o fatorial cresce muito mais rápido que a potência
. Isso é a intuição chave: fatorial vence potência, então a série de termos positivos converge e, portanto, a série alternada é absolutamente convergente. Vai dar tudo certo na prova — relaxa, esse tipo de série é clássico e cai fácil quando lembrar do teste da razão.
Resposta
Absolutamente convergente.