Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove a sua resposta.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{2^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!}
e pede para determinar se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!}.
  • Devemos classificar a convergência (absoluta, condicional ou divergente) e provar a afirmação.

Passo 2

Vou explicar rapidinho os conceitos que precisamos, de um jeito bem direto:
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de módulos \sum |a_n| converge.
  • Se \sum a_n converge mas \sum |a_n| diverga, então \sum a_n é condicionalmente convergente.
  • Se \sum a_n não converge, dizemos que é divergente.
Para testar a convergência da série de módulos \sum |a_n| vamos usar um teste prático e muito útil: o Teste da Razão (d’Alembert).

Passo 3

Enunciado do Teste da Razão (versão prática que usaremos):
se (b_n) é uma sequência de termos positivos e
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}
existe, então
  • se L<1, a série \sum b_n converge;
  • se L>1, a série \sum b_n diverga;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui vamos aplicar o teste com b_n=|a_n|=\dfrac{2^{n}}{n!}.

Passo 4

Calculemos a razão \dfrac{b_{n+1}}{b_n}. Em forma clara:
b_n=\frac{2^{n}}{n!}, \qquad b_{n+1}=\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}.
Logo
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{2^{n}}{n!}} = \frac{2^{n+1}}{2^{n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!} = 2\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{2}{n+1}.
Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0.
Como L=0<1, pelo Teste da Razão a série \sum b_n=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge. Ou seja, a série dos módulos converge.

Passo 5

Como a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^{n}}{n!} converge, concluímos que a série original \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{2^{n}}{n!} é absolutamente convergente. Lembrando uma consequência importante: toda série absolutamente convergente é convergente (no sentido usual).
Para completar com um bônus útil (não exigido, mas que ajuda a fixar a ideia): podemos identificar as somas usando a série exponencial. Sabendo que
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!},
temos
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!}-1 = e^{2}-1,
e também
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2^{n}}{n!} = 1-e^{-2}.
Esses cálculos confirmam que ambas as séries (a com sinais e a de módulos) são finitas.

Passo 6

Resumo final e motivação rápida: aplicar o Teste da Razão a \dfrac{2^{n}}{n!} dá um limite zero porque o fatorial cresce muito mais rápido que a potência 2^{n}. Isso é a intuição chave: fatorial vence potência, então a série de termos positivos converge e, portanto, a série alternada é absolutamente convergente. Vai dar tudo certo na prova — relaxa, esse tipo de série é clássico e cai fácil quando lembrar do teste da razão.

Resposta

Absolutamente convergente.

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