calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{(x-1)^{4 / 3}-(y-1)^{4 / 3}}{(x-1)^{2 / 3}+(y-1)^{2 / 3}}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando (x,y)\to(1,1) da função
\frac{(x-1)^{4/3}-(y-1)^{4/3}}{(x-1)^{2/3}+(y-1)^{2/3}}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve potências fracionárias (\cdot)^{4/3} e (\cdot)^{2/3}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(1,1).
    O que se quer: calcular
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{(x-1)^{4/3}-(y-1)^{4/3}}{(x-1)^{2/3}+(y-1)^{2/3}}.

Passo 2

Vamos introduzir uma notação mais simples para enxergar uma fatoração útil. Defina
u=(x-1)^{2/3},\qquad v=(y-1)^{2/3}.
Explicação didática: para qualquer número real t, a potência t^{2/3} pode ser vista como (t^{1/3})^2. A raiz cúbica t^{1/3} é bem definida para t negativo ou positivo e é contínua; elevando ao quadrado obtemos um número não negativo e também continuo. Logo u e v são funções contínuas de x e y e ao nos aproximarmos de x=1 e y=1 temos u\to0 e v\to0.

Passo 3

Reescrevemos a expressão usando u e v. Observe que
(x-1)^{4/3} = \big((x-1)^{2/3}\big)^2 = u^2, \qquad (y-1)^{4/3} = v^2.
Portanto a razão fica
\frac{u^2-v^2}{u+v}.
Agora aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
u^2-v^2=(u-v)(u+v).
Assim, para pontos em que u+v\neq0 (ou seja, para todos os pontos próximos a (1,1) exceto o próprio (1,1)), temos
\frac{u^2-v^2}{u+v} = u-v.

Passo 4

Justificativa de que a simplificação é válida numa vizinhança pontuada: como u=(x-1)^{2/3} e v=(y-1)^{2/3} são sempre \ge0, a soma u+v só pode ser zero se u=0 e v=0 simultaneamente, o que ocorre exatamente em (x,y)=(1,1). Logo, em todo ponto próximo a (1,1) com (x,y)\neq(1,1) a igualdade acima vale; portanto a função original coincide com u-v em uma vizinhança pontuada de (1,1). Pelo teorema sobre limites (duas funções que coincidem numa vizinhança pontuada têm o mesmo limite no ponto), basta calcular
\lim_{(x,y)\to(1,1)} (u-v).

Passo 5

Calcular o limite de u-v. Como u=(x-1)^{2/3} e v=(y-1)^{2/3} são contínuas em x=1 e y=1 e u(1)=v(1)=0, temos
\lim_{(x,y)\to(1,1)} u = 0,\qquad \lim_{(x,y)\to(1,1)} v = 0.
Pelo teorema da soma/diferença de limites,
\lim_{(x,y)\to(1,1)} (u-v) = \lim_{(x,y)\to(1,1)} u - \lim_{(x,y)\to(1,1)} v = 0-0 = 0.
Intuição alternativa breve: tanto (x-1)^{2/3} quanto (y-1)^{2/3} tendem a zero, então a diferença também tende a zero.

Passo 6

Concluímos que o limite da função original é igual ao limite de u-v, que é 0. Portanto o limite pedido existe e vale 0.

Resposta

0

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