calcule o limite dado, usando os teoremas de limite.
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
da função
Informações dadas:
- A expressão envolve potências fracionárias
e . - O ponto de interesse é
.
O que se quer: calcular
Passo 2
Vamos introduzir uma notação mais simples para enxergar uma fatoração útil. Defina
Explicação didática: para qualquer número real
, a potência
pode ser vista como
. A raiz cúbica
é bem definida para
negativo ou positivo e é contínua; elevando ao quadrado obtemos um número não negativo e também continuo. Logo
e
são funções contínuas de
e
e ao nos aproximarmos de
e
temos
e
.
Passo 3
Reescrevemos a expressão usando
e
. Observe que
Portanto a razão fica
Agora aplicamos a fatoração de diferença de quadrados:
Assim, para pontos em que
(ou seja, para todos os pontos próximos a
exceto o próprio
), temos
Passo 4
Justificativa de que a simplificação é válida numa vizinhança pontuada: como
e
são sempre
, a soma
só pode ser zero se
e
simultaneamente, o que ocorre exatamente em
. Logo, em todo ponto próximo a
com
a igualdade acima vale; portanto a função original coincide com
em uma vizinhança pontuada de
. Pelo teorema sobre limites (duas funções que coincidem numa vizinhança pontuada têm o mesmo limite no ponto), basta calcular
Passo 5
Calcular o limite de
. Como
e
são contínuas em
e
e
, temos
Pelo teorema da soma/diferença de limites,
Intuição alternativa breve: tanto
quanto
tendem a zero, então a diferença também tende a zero.
Passo 6
Concluímos que o limite da função original é igual ao limite de
, que é
. Portanto o limite pedido existe e vale
.