Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n^{2}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}}
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas: a sequência geral dos termos é (-1)^{n}\dfrac{n^{2}}{3^{n}}.
Perguntas que temos de responder: 1) a série dos valores absolutos \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{3^{n}} converge? 2) com base nisso, a série alternada original converge absolutamente, condicionalmente ou diverge?

Passo 2

Vou investigar primeiro a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{3^{n}}.
Uma ferramenta prática para séries com fator exponencial é o teste da razão (ratio test). Vou enunciar o que o teste diz (de forma simples e intuitiva): para uma série com termos positivos a_n, se o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}
existe e satisfaz L<1, então a série \sum a_n converge; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo. Aqui a_n=\dfrac{n^2}{3^n} é positivo, então podemos aplicar o teste da razão.

Passo 3

Calculo a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)^2}{3^{\,n+1}}}{\dfrac{n^2}{3^{\,n}}} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3} = \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\cdot\frac{1}{3}.

Passo 4

Agora tomo o limite quando n\to\infty. Observando que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1, segue que
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}=1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Como L=\dfrac{1}{3}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{n^{2}}{3^{n}} converge.

Passo 5

Se a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original converge absolutamente. Existe um resultado padrão (teorema) que afirma: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge. Intuitivamente: somar os módulos finitos controla a soma dos sinais. Assim, concluímos que a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}}
converge absolutamente (portanto converge, e não apenas condicionalmente).

Passo 6

Comentário rápido de reforço (útil para a prova): quando o termo geral tem forma polinomial em n dividido por uma potência c^{n} com c>1, normalmente a parte exponencial vence a parte polinomial e a série de termos positivos converge; o teste da razão costuma mostrar isso facilmente, como fizemos aqui. Isso ajuda a reconhecer padrão rápido em exercícios semelhantes.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}}{3^{n}} é absolutamente convergente.

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