Determine se a série dada é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Prove as suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas: a sequência geral dos termos é .
Perguntas que temos de responder: 1) a série dos valores absolutos converge? 2) com base nisso, a série alternada original converge absolutamente, condicionalmente ou diverge?
Informações dadas: a sequência geral dos termos é
Perguntas que temos de responder: 1) a série dos valores absolutos
Passo 2
Vou investigar primeiro a série dos valores absolutos
Uma ferramenta prática para séries com fator exponencial é o teste da razão (ratio test). Vou enunciar o que o teste diz (de forma simples e intuitiva): para uma série com termos positivos
, se o limite
existe e satisfaz
, então a série
converge; se
diverge; se
o teste é inconclusivo. Aqui
é positivo, então podemos aplicar o teste da razão.
Passo 3
Calculo a razão entre termos consecutivos:
Passo 4
Agora tomo o limite quando
. Observando que
, segue que
Portanto
Como
, pelo teste da razão a série
converge.
Passo 5
Se a série dos valores absolutos converge, dizemos que a série original converge absolutamente. Existe um resultado padrão (teorema) que afirma: se
converge então
também converge. Intuitivamente: somar os módulos finitos controla a soma dos sinais. Assim, concluímos que a série alternada
converge absolutamente (portanto converge, e não apenas condicionalmente).
Passo 6
Comentário rápido de reforço (útil para a prova): quando o termo geral tem forma polinomial em
dividido por uma potência
com
, normalmente a parte exponencial vence a parte polinomial e a série de termos positivos converge; o teste da razão costuma mostrar isso facilmente, como fizemos aqui. Isso ajuda a reconhecer padrão rápido em exercícios semelhantes.
Resposta
A série
é absolutamente convergente.