Determine se a série é convergente ou divergente:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}} é convergente ou divergente.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A série é dada termo a termo por a_{n}=\dfrac{3+\sin n}{n^{2}}.
  • Sabemos que \sin n é uma função limitada; em particular -1 \le \sin n \le 1 para todo n.
  • Não há informação de um método obrigatório no enunciado, então usaremos um teste de comparação simples, que é apropriado para séries de termos positivos como esta.

Passo 2

Entendendo a propriedade que vamos usar: a série p (p-series).
  • Uma série da forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} é chamada de série-p.
  • Teorema conhecido: a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. (Para p=2 temos convergência; de fato \sum 1/n^{2} converge.)
  • Intuição/mini-aula: por exemplo, podemos usar o teste da integral para ver que \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx é finita, pois
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}}\,dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{\infty} = 1,
e isso implica que \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge. Aqui p=2>1, então a p-série é convergente.

Passo 3

Enunciando o Teste da Comparação Simples (para séries de termos não-negativos):
  • Seja \{a_n\} e \{b_n\} sequências com 0 \le a_n \le b_n para todo n.
  • Se \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n converge, então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n também converge.
  • Ideia por trás do teste: as somas parciais de \{a_n\} ficam sempre menores ou iguais às somas parciais de \{b_n\}; se as de b_n convergem para um valor finito, as de a_n ficam presas abaixo desse valor e, por serem não-decrescentes, têm limite finito.

Passo 4

Aplicando a observação sobre \sin n para obter uma desigualdade útil:
  • Como -1 \le \sin n \le 1, temos 3-1 \le 3+\sin n \le 3+1, ou seja
2 \le 3+\sin n \le 4
para todo n.
  • Assim, dividindo por n^{2}>0,
0 \le \frac{3+\sin n}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}.
Note que os termos são sempre positivos (pois 3+\sin n \ge 2>0).

Passo 5

Concluir usando o Teste da Comparação:
  • Sabemos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} converge (Passo 2), então \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4}{n^{2}} = 4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} também converge.
  • Pela desigualdade do Passo 4 e pelo Teste da Comparação (Passo 3), a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\sin n}{n^{2}}
converge, pois cada termo é majorado por \frac{4}{n^{2}} cuja soma é finita.
  • Como os termos são não-negativos, essa convergência é também absoluta (não havia sinal alternante a considerar).

Resposta

Convergente (convergência absoluta).

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