Determine se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se a série
é convergente ou divergente.
Informações dadas e observações imediatas:
- A série é dada termo a termo por
. - Sabemos que
é uma função limitada; em particular para todo . - Não há informação de um método obrigatório no enunciado, então usaremos um teste de comparação simples, que é apropriado para séries de termos positivos como esta.
Passo 2
Entendendo a propriedade que vamos usar: a série p (p-series).
- Uma série da forma
é chamada de série-p. - Teorema conhecido: a série
converge se, e somente se, . (Para temos convergência; de fato converge.) - Intuição/mini-aula: por exemplo, podemos usar o teste da integral para ver que
é finita, pois
e isso implica que
converge. Aqui
, então a p-série é convergente.
Passo 3
Enunciando o Teste da Comparação Simples (para séries de termos não-negativos):
- Seja
e sequências com para todo . - Se
converge, então também converge. - Ideia por trás do teste: as somas parciais de
ficam sempre menores ou iguais às somas parciais de ; se as de convergem para um valor finito, as de ficam presas abaixo desse valor e, por serem não-decrescentes, têm limite finito.
Passo 4
Aplicando a observação sobre
para obter uma desigualdade útil:
- Como
, temos , ou seja
para todo
.
- Assim, dividindo por
,
Note que os termos são sempre positivos (pois
).
Passo 5
Concluir usando o Teste da Comparação:
- Sabemos que
converge (Passo 2), então também converge. - Pela desigualdade do Passo 4 e pelo Teste da Comparação (Passo 3), a série
converge, pois cada termo é majorado por
cuja soma é finita.
- Como os termos são não-negativos, essa convergência é também absoluta (não havia sinal alternante a considerar).
Resposta
Convergente (convergência absoluta).