Determine se a série dada converge ou diverge:
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2+\operatorname{sen} 3 n}{n};

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 + \sin(3n)}{n}.
O conteúdo é análise de séries numéricas, e vamos usar decomposição em somas mais simples e, para a parte oscilante, o teste de Dirichlet.

Passo 2

Escrevemos o termo geral como soma de duas parcelas:
\frac{2 + \sin(3n)}{n} = 2 \,\frac{1}{n} \;+\; \frac{\sin(3n)}{n}.
Logo a série é
2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \;+\; \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(3n)}{n}.

Passo 3

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
é divergente (série harmónica). Portanto
2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
também diverge.

Passo 4

A série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(3n)}{n}
converge pelo teste de Dirichlet, pois as somas parciais de \sin(3n) são limitadas e 1/n é positiva, diminui monotonicamente e tende a zero.

Passo 5

Como a primeira parcela diverge, mesmo que a segunda converja, a soma total diverge (divergente + convergente = divergente).

Resposta

A série diverge.

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