Escreva as frações decimais 0,412412412 \cdots e 0,021343434343 \cdots como:
(a) uma série infinita;
(b) encontre a soma da série e a escreva como o quociente de dois inteiros.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as repetições decimais
0,412412412\cdots \quad\text{e}\quad 0,021343434343\cdots
(a) como séries infinitas, (b) calcular a soma de cada série e escrever como quociente de inteiros. Para isso vamos usar que um decimal periódico se escreve como soma de um termo inicial (se houver parte não periódica) mais uma série geométrica cujo primeiro termo e razão dependem do comprimento do período.

Passo 2

Para 0,412412412\cdots o período é “412” (3 dígitos) e começa logo na primeira casa decimal. Podemos escrever
0,412412412\cdots =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{412}{10^{3k}}.

Passo 3

Essa é uma série geométrica de primeiro termo
a=\frac{412}{10^3}
e razão
r=\frac{1}{10^3}.
Como \lvert r\rvert<1, a soma é
\sum_{k=1}^{\infty}a\,r^{\,k-1} =\frac{a}{1-r} =\frac{\tfrac{412}{10^3}}{1-\tfrac{1}{10^3}} =\frac{412}{10^3}\cdot\frac{10^3}{10^3-1} =\frac{412}{999}.

Passo 4

Para 0,021343434343\cdots há uma parte não periódica “0213” (4 dígitos) seguida do período “43” (2 dígitos). Logo
0,0213434343\cdots =0,0213 +\sum_{k=1}^{\infty}\frac{43}{10^{4+2k}}.
Aqui 0,0213=\tfrac{213}{10^4} e na série o primeiro termo k=1 vale \tfrac{43}{10^6} com razão r=10^{-2}.

Passo 5

A soma da parte periódica é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{43}{10^{4+2k}} =\frac{\tfrac{43}{10^6}}{1-10^{-2}} =\frac{43}{10^6}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{1}{100}} =\frac{43}{10^6}\cdot\frac{100}{99} =\frac{43}{990000}.
Logo
0,0213434343\cdots =\frac{213}{10000}+\frac{43}{990000} =\frac{21130}{990000} =\frac{2113}{99000}.

Resposta

(a) \displaystyle 0,412412412\cdots=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{412}{10^{3k}} \displaystyle 0,021343434343\cdots= \frac{213}{10^4}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{43}{10^{4+2k}} (b) \displaystyle 0,412412412\cdots=\frac{412}{999} \displaystyle 0,021343434343\cdots=\frac{2113}{99000}

Exercícios relacionados