Determine a série de Fourier da função constante
em
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a série de Fourier da função constante
no intervalo
. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
para todo . - Quer-se a expansão em série de Fourier periódica de período
associada a . - Precisamos encontrar os coeficientes da série (constante e os coeficientes das funções
e ) e escrever a série correspondente.
Passo 2
Vou escrever a fórmula padrão da série de Fourier (forma real) numa função de período
. A série de Fourier de uma função
em
é dada por
onde os coeficientes
e
são definidos por
Explicando as peças:
é o coeficiente que dá a componente constante (a média da função no período);
mede a projeção de
na base
;
mede a projeção de
na base
. As integrais calculam essas projeções usando a ortogonalidade das funções trigonométricas.
Passo 3
Calcular
. Pela definição,
Aqui
, então
Portanto a contribuição constante na série é
.
Passo 4
Calcular
para
. Pela definição,
Avaliaremos a integral. Uma forma rápida:
é uma função par e seu primitivo é
. Assim
Mas
para todo inteiro
, e
. Logo a integral vale
. Portanto
Passo 5
Calcular
para
. Pela definição,
Aqui observe que
é função ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico
é zero. Ou calcular explicitamente:
Como
é par,
, então o numerador é zero e a integral vale
. Logo
Passo 6
Reunindo os resultados:
,
e
para todo
. Substituindo na fórmula da série,
Interpretação intuitiva: a função constante tem só a componente média (termo DC) e nenhuma componente harmônica; portanto a série de Fourier é simplesmente a constante.
Passo 7
Sobre convergência (curtinha, só pra te deixar tranquilo):
é contínua e sua extensão periódica é contínua, então a série de Fourier converge uniformemente para
em todo
. Ou seja, não há problemas em pontos de descontinuidade — aqui não há discontínuos.