Determine a série de Fourier da função constante f(x)=1 em [-\pi, \pi].

Passo 1

O enunciado pede: determinar a série de Fourier da função constante f(x)=1 no intervalo [- \pi,\pi]. Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é f(x)=1 para todo x\in[-\pi,\pi].
  • Quer-se a expansão em série de Fourier periódica de período 2\pi associada a f.
  • Precisamos encontrar os coeficientes da série (constante e os coeficientes das funções \cos(nx) e \sin(nx)) e escrever a série correspondente.

Passo 2

Vou escrever a fórmula padrão da série de Fourier (forma real) numa função de período 2\pi. A série de Fourier de uma função f em [- \pi,\pi] é dada por
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr),
onde os coeficientes a_n e b_n são definidos por
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx\qquad(n=0,1,2,\dots),
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx\qquad(n=1,2,\dots).
Explicando as peças: a_0 é o coeficiente que dá a componente constante (a média da função no período); a_n mede a projeção de f na base \cos(nx); b_n mede a projeção de f na base \sin(nx). As integrais calculam essas projeções usando a ortogonalidade das funções trigonométricas.

Passo 3

Calcular a_0. Pela definição,
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx.
Aqui f(x)=1, então
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 1\,dx=\frac{1}{\pi}\bigl[x\bigr]_{-\pi}^{\pi}=\frac{1}{\pi}\bigl(\pi-(-\pi)\bigr)=\frac{1}{\pi}\cdot 2\pi=2.
Portanto a contribuição constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{2}{2}=1.

Passo 4

Calcular a_n para n\ge1. Pela definição,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 1\cdot\cos(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
Avaliaremos a integral. Uma forma rápida: \cos(nx) é uma função par e seu primitivo é \dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\,dx=\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}=\frac{\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)}{n}.
Mas \sin(n\pi)=0 para todo inteiro n, e \sin(-n\pi)=-\sin(n\pi)=0. Logo a integral vale 0. Portanto
a_n=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 5

Calcular b_n para n\ge1. Pela definição,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} 1\cdot\sin(nx)\,dx=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
Aqui observe que \sin(nx) é função ímpar, e a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico [-A,A] é zero. Ou calcular explicitamente:
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{-\pi}^{\pi}=-\frac{\cos(n\pi)-\cos(-n\pi)}{n}.
Como \cos é par, \cos(-n\pi)=\cos(n\pi), então o numerador é zero e a integral vale 0. Logo
b_n=\frac{1}{\pi}\cdot 0=0\qquad\text{para todo }n\ge1.

Passo 6

Reunindo os resultados: a_0=2, a_n=0 e b_n=0 para todo n\ge1. Substituindo na fórmula da série,
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr) = \frac{2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(0\cdot\cos(nx)+0\cdot\sin(nx)\bigr)=1.
Interpretação intuitiva: a função constante tem só a componente média (termo DC) e nenhuma componente harmônica; portanto a série de Fourier é simplesmente a constante.

Passo 7

Sobre convergência (curtinha, só pra te deixar tranquilo): f(x)=1 é contínua e sua extensão periódica é contínua, então a série de Fourier converge uniformemente para 1 em todo \mathbb{R}. Ou seja, não há problemas em pontos de descontinuidade — aqui não há discontínuos.

Resposta

1=\frac{2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(0\cdot\cos(nx)+0\cdot\sin(nx)\bigr)=1.

Exercícios relacionados