Aqui n é um inteiro positivo (n\in\mathbb{N}), e \frac{n\pi x}{L} é o argumento do seno que cria a base ortogonal \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) em [0,L].
Intuição curta (sem entrar em muita teoria): usamos apenas senos porque queremos uma extensão ímpar da função a partir de [0,L]; os senos se anulam nas bordas x=0 e x=L, então formam uma base adequada para funções cujo valor efetivo na extensão ímpar é 0 nas bordas.
O termo de borda é -\dfrac{L\cos(aL)}{a} - \left(-\dfrac{0\cdot\cos(0)}{a}\right)= -\dfrac{L\cos(aL)}{a}.
A integral restante é \dfrac{1}{a}\displaystyle\int_{0}^{L}\cos(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\left.\frac{\sin(ax)}{a}\right|_{0}^{L} = \dfrac{1}{a^{2}}\sin(aL) - 0.
Portanto
I = -\frac{L\cos(aL)}{a} + \frac{\sin(aL)}{a^{2}}.
Mas lembrando a=\dfrac{n\pi}{L} temos aL=n\pi e assim \sin(aL)=\sin(n\pi)=0 e \cos(aL)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Logo o segundo termo some e fica
I = -\frac{L\cos(aL)}{a} = -\frac{L(-1)^n}{a}.
Voltando a=\dfrac{n\pi}{L}, obtemos
I = -L\cdot(-1)^n\cdot\frac{L}{n\pi} = -\frac{L^{2}(-1)^n}{n\pi}.
Escrever a série de Fourier de senos final. Substituindo os b_n na soma:
x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad 0<x<L.
Explicando os símbolos: n percorre os inteiros positivos; L é o comprimento do intervalo dado; a igualdade é no sentido de série de Fourier (convergência pontual para 0<x<L e convergência em norma L^2 no intervalo).
Força aí — essa expansão é clássica e muito útil: se precisar, a gente pode testar para um caso concreto (por exemplo L=\pi) para ver os primeiros termos numericamente.
Resposta
x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)