Considere f(x)=x em [0, L]. Encontre sua série de Fourier de senos.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x definida no intervalo [0,L] e pede para encontrar a sua série de Fourier de senos.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=x para 0\le x\le L.
  • O intervalo de expansão é [0,L].
  • O objetivo é representar f como uma soma infinita de senos (série de Fourier de senos).

Passo 2

O que é a série de Fourier de senos e qual fórmula usar.
  • A série de Fourier de senos de uma função definida em [0,L] tem a forma
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes b_n são dados por
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • Aqui n é um inteiro positivo ( n\in\mathbb{N}), e \frac{n\pi x}{L} é o argumento do seno que cria a base ortogonal \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) em [0,L].
  • Intuição curta (sem entrar em muita teoria): usamos apenas senos porque queremos uma extensão ímpar da função a partir de [0,L]; os senos se anulam nas bordas x=0 e x=L, então formam uma base adequada para funções cujo valor efetivo na extensão ímpar é 0 nas bordas.
Agora aplicamos a fórmula com f(x)=x.

Passo 3

Calcular o integral que define b_n. Definimos
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Para simplificar a integral, ponha
a=\frac{n\pi}{L}.
Então precisamos calcular
I=\int_{0}^{L} x\sin(ax)\,dx.
Usamos integração por partes: \displaystyle\int u\,dv = u v - \int v\,du. Escolhemos u=x (logo du=dx) e dv=\sin(ax)\,dx (logo v=-\dfrac{\cos(ax)}{a}). Aplicando:
I=\left. -\frac{x\cos(ax)}{a}\right|_{0}^{L} + \int_{0}^{L}\frac{\cos(ax)}{a}\,dx.
Calcule os termos separadamente:
  • O termo de borda é -\dfrac{L\cos(aL)}{a} - \left(-\dfrac{0\cdot\cos(0)}{a}\right)= -\dfrac{L\cos(aL)}{a}.
  • A integral restante é \dfrac{1}{a}\displaystyle\int_{0}^{L}\cos(ax)\,dx = \dfrac{1}{a}\left.\frac{\sin(ax)}{a}\right|_{0}^{L} = \dfrac{1}{a^{2}}\sin(aL) - 0.
Portanto
I = -\frac{L\cos(aL)}{a} + \frac{\sin(aL)}{a^{2}}.
Mas lembrando a=\dfrac{n\pi}{L} temos aL=n\pi e assim \sin(aL)=\sin(n\pi)=0 e \cos(aL)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Logo o segundo termo some e fica
I = -\frac{L\cos(aL)}{a} = -\frac{L(-1)^n}{a}.
Voltando a=\dfrac{n\pi}{L}, obtemos
I = -L\cdot(-1)^n\cdot\frac{L}{n\pi} = -\frac{L^{2}(-1)^n}{n\pi}.

Passo 4

Agora calcular b_n usando I:
b_n=\frac{2}{L}\,I=\frac{2}{L}\left(-\frac{L^{2}(-1)^n}{n\pi}\right)= -\frac{2L(-1)^n}{n\pi}.
Reescrevendo o sinal de forma habitual:
b_n=\frac{2L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}.
Aqui n=1,2,3,\dots.

Passo 5

Escrever a série de Fourier de senos final. Substituindo os b_n na soma:
x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\qquad 0<x<L.
Explicando os símbolos: n percorre os inteiros positivos; L é o comprimento do intervalo dado; a igualdade é no sentido de série de Fourier (convergência pontual para 0<x<L e convergência em norma L^2 no intervalo).
Força aí — essa expansão é clássica e muito útil: se precisar, a gente pode testar para um caso concreto (por exemplo L=\pi) para ver os primeiros termos numericamente.

Resposta

x \sim \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2L(-1)^{\,n+1}}{n\pi}\,\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)

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