Determine a série de Fourier do sinal x[n]
$
& x[n]=1 , se 0 <= n <= 4 & x[n]=0 , caso contrário á
$

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o sinal discreto
x[n]= 1,&0<= n<=4, 0,&caso contrário, á
e pede a “série de Fourier” dele. Na prática, para um sinal finito isso equivale à Transformada de Fourier discreta em frequência contínua (DTFT).
Para resolver vamos usar:
  1. a definição da DTFT,
  2. reconhecimento de soma geométrica.

Passo 2

Definição da DTFT:
X(e^jomega)=sumn=-infty^+inftyx[n],e^-jomega n
Como X(e^jomega)=sumn=0^41cdot e^-jomega n para e para , a soma realmente só vai de até :

Passo 3

Reconhecendo isso como uma soma geométrica de razão sumn=0^4r^n = 1 + r + r^2 + r^3 + r^4 :
1+r+cdots+r^N-1=1-r^N1-r, rneq1
A fórmula geral de soma geométrica é
X(e^jomega) =1-(e^-jomega)^51-e^-jomega =1-e^-j5omega1-e^-jomega, para e^-jomeganeq1
Aqui e , então

Passo 4

Tratar o caso especial X(e^jomega)=sumn=0^4 1 = 5 (ou seja , inteiro):
  • Nesse caso cada termo , então

Resposta

boxedX(e^jomega) =sumn=0^4e^-jomega n =1-e^-j5omega1-e^-jomega(omeganeq2pi m), X(e^jomega)=5;se omega=2pi m

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