Identifique as regiões de convergência possíveis para a função transferência. H(z)=2 z+3z^2-3 z+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as regiões de convergência (ROC) da função transferência . Estamos trabalhando com Transformada Z e precisamos entender onde essa função converge, ou seja, em quais regiões do plano a função faz sentido matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para encontrar os pólos de . Os pólos são os valores de que tornam o denominador zero.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pólos são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde estão os pólos, precisamos determinar as possíveis Regiões de Convergência (ROC). A ROC depende da posição dos pólos no plano e pode ser uma das seguintes:
  1. : Fora do pólo mais afastado (causal)
  2. : Entre os pólos (estável e causal/anti-causal, dependendo da aplicação)
  3. : Dentro do pólo mais próximo (anti-causal)

Passo 4

Vamos entender o porquê dessas opções:
  • : Aqui a série converge porque estamos fora dos pólos, garantindo que a função não se aproxime do infinito.
  • : Entre os dois pólos, a convergência depende do tipo de sequência (causal ou anti-causal), mas matematicamente é uma região válida.
  • : Dentro do pólo mais próximo, a série converge novamente, mas nesse caso a sequência é anti-causal.

Passo 5

Portanto, as Regiões de Convergência possíveis para são:

Resposta

As regiões de convergência para são:

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