Identifique as regiões de convergência possíveis para a função transferência.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para identificar as regiões de convergência (ROC) da função transferência
. Estamos trabalhando com Transformada Z e precisamos entender onde essa função converge, ou seja, em quais regiões do plano
a função faz sentido matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função para encontrar os pólos de
. Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero.
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pólos são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde estão os pólos, precisamos determinar as possíveis Regiões de Convergência (ROC). A ROC depende da posição dos pólos no plano
e pode ser uma das seguintes:
-
: Fora do pólo mais afastado (causal) -
: Entre os pólos (estável e causal/anti-causal, dependendo da aplicação) -
: Dentro do pólo mais próximo (anti-causal)
Passo 4
Vamos entender o porquê dessas opções:
-
: Aqui a série converge porque estamos fora dos pólos, garantindo que a função não se aproxime do infinito. -
: Entre os dois pólos, a convergência depende do tipo de sequência (causal ou anti-causal), mas matematicamente é uma região válida. -
: Dentro do pólo mais próximo, a série converge novamente, mas nesse caso a sequência é anti-causal.
Passo 5
Portanto, as Regiões de Convergência possíveis para
são:
Resposta
As regiões de convergência para
são: