Determine a Transformada de Fourier Discreta do sinal x[n]
$
x[n]=sinc(n4)+2 cos (pi n2) sinc=sen(pi n4)pi n4
$

Passo 1

Beleza, a questão pede a Transformada de Fourier Discreta (ou melhor, a DTFT) do sinal
,
onde .
Conteúdo: DTFT de uma soma de um “sinc” (filtro passa-baixa ideal) e um cosseno.
O que precisamos:
  1. Saber que a DTFT de é um retângulo em .
  2. Saber que a DTFT de é um trem de deltas.
  3. Usar a relação .

Passo 2

Transformada da parte sinc:
Primeiro note
sincl(tfracn4r) =sin!l(tfracpi n4r)tfracpi n4 =4;sin!l(tfracpi4nr)pi n
E a DTFT conhecida é
sumn=-infty^inftysin(Omegac n)pi n,e^-jomega n = 1,&|omega|á
Aqui X1(e^jomega) =4;times 1,&|omega|, mas há o fator 4 multiplicando.
Logo a DTFT de X1(e^jomega)=4;rect!l(omegapi/2r), é
á
Em notação “retângulo” podemos escrever
onde se , e zero fora.

Passo 3

Transformada da parte 2cos!l(tfracpi n2r) = e^jpi2n+e^-jpi2n :
Escreve como exponenciais:
X2(e^jomega) =2pisumk=-infty^inftyde
E a DTFT de é
.
Portanto

Passo 4

Basta somar as duas partes, porque a DTFT é linear:
X(e^jomega) =X1(e^jomega)+X2(e^jomega)

Resposta

[
\boxed{
X(e^{j\omega})

4;\mathrm{rect}!\Bigl(\tfrac{\omega}{\pi/2}\Bigr)
;+;
2\pi\sum_{k=-\infty}^\infty
\Bigl[
\delta!\bigl(\omega-\tfrac{\pi}{2}-2\pi k\bigr)
+\delta!\bigl(\omega+\tfrac{\pi}{2}-2\pi k\bigr)
\Bigr].
}
]

Exercícios relacionados