Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
1-(5 pontos) f(t)=r 1,0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ definida por:
f(t)
Então, o que precisamos é decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de séries de Fourier trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição, vemos que a função se repete a cada 2 unidades de $ t $. Então, o período $ T = 2 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
t

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. A série geral é:
f(t) = a0 + sumn=1^infty [ an cos(nomega0 t) + bn sin(nomega0 t) ]
Primeiro, encontramos $ a_0 $:
a0
Calculando as integrais:
a0 = 1T integral0^T f(t) , dt = 12 ( integral0^1 1 , dt + integral1^2 (1 - t) , dt )
integral0^1 1 , dt = 1
Então,
integral1^2 (1 - t) , dt = [ t - t^22 ]1^2 = (2 - 2) - (1 - 0.5) = -0.5

Passo 4

Em seguida, calculamos os coeficientes $ a_n $:
an
Dividindo a integral:
an = 2T integral0^T f(t) cos(nomega0 t) , dt = integral0^2 f(t) cos(npi t) , dt
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando fórmulas de integração padrão.

Passo 5

Agora, calculamos os coeficientes $ b_n $:
bn
Dividindo a integral:
bn = 2T integral0^T f(t) sin(nomega0 t) , dt = integral0^2 f(t) sin(npi t) , dt
Essas integrais também serão resolvidas usando técnicas de integração apropriadas.

Passo 6

Após calcular $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $, substituímos na expressão geral da série de Fourier:
a0
Isso nos dará a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $.

Resposta

A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
onde os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são calculados conforme os passos anteriores.

Exercícios relacionados