Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ definida por:
Então, o que precisamos é decompor essa função em uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos usar os conceitos básicos de séries de Fourier trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição, vemos que a função se repete a cada 2 unidades de $ t $. Então, o período $ T = 2 $. A frequência fundamental $ \omega_0 $ é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. A série geral é:
Primeiro, encontramos $ a_0 $:
Calculando as integrais:
Então,
Passo 4
Em seguida, calculamos os coeficientes $ a_n $:
Dividindo a integral:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes ou usando fórmulas de integração padrão.
Passo 5
Agora, calculamos os coeficientes $ b_n $:
Dividindo a integral:
Essas integrais também serão resolvidas usando técnicas de integração apropriadas.
Passo 6
Após calcular $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $, substituímos na expressão geral da série de Fourier:
Isso nos dará a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $.
Resposta
A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é dada por:
onde os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são calculados conforme os passos anteriores.