Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício de séries de Fourier trigonométricas. A gente precisa encontrar a série de Fourier da função $ f(t) $ que é definida por partes:
Isso faz parte do conteúdo de Análise de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ para montar a série completa.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição de $ f(t) $, vemos que ela se repete a cada 2 unidades de tempo. Então, o período $ T $ é 2, e a frequência angular fundamental é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período:
Calculando as integrais:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Como a função $ f(t) $ é ímpar em relação a $ t = 1 $, os coeficientes $ a_n $ serão zero. Mas para praticidade, vamos verificar isso:
Pelas propriedades da função e simetria, esses termos se anulam, então:
Passo 5
Agora vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
Vamos resolver cada integral:
Para $ 0 < t < 1 $:
Para $ 1 < t < 2 $:
Juntando os dois:
Simplificando:
Passo 6
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é:
Resposta
A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é: