Determine a série de Fourier trigonométrica da seguinte função:
2-(5 pontos) f(t)=r -5,0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver juntos esse exercício de séries de Fourier trigonométricas. A gente precisa encontrar a série de Fourier da função $ f(t) $ que é definida por partes:
f(t)
Isso faz parte do conteúdo de Análise de Fourier, que nos ajuda a representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos precisar calcular os coeficientes $ a_0 $, $ a_n $ e $ b_n $ para montar a série completa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição de $ f(t) $, vemos que ela se repete a cada 2 unidades de tempo. Então, o período $ T $ é 2, e a frequência angular fundamental é:
f(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função no período:
a0
Calculando as integrais:
a0 = 1T integral0^T f(t) , dt = 12 ( integral0^1 (-5) , dt + integral1^2 5 , dt )

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. Como a função $ f(t) $ é ímpar em relação a $ t = 1 $, os coeficientes $ a_n $ serão zero. Mas para praticidade, vamos verificar isso:
an
Pelas propriedades da função e simetria, esses termos se anulam, então:
f(t)

Passo 5

Agora vamos calcular os coeficientes $ b_n $:
bn
Vamos resolver cada integral:
Para $ 0 < t < 1 $:
bn = 2T integral0^T f(t) sin(nomega0 t) , dt = 11 ( integral0^1 (-5) sin(npi t) , dt + integral1^2 5 sin(npi t) , dt )
Para $ 1 < t < 2 $:
0 < t < 1
Juntando os dois:
integral0^1 -5 sin(npi t) , dt = -5 ( -1npi cos(npi t) ) |0^1 = 5npi [cos(npi) - 1]
Simplificando:
1 < t < 2

Passo 6

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é:
f(t)

Resposta

A série de Fourier trigonométrica da função $ f(t) $ é:
f(t)

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