Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. O exercício dá a série
Vou interpretar o símbolo estranho
como um erro de digitação e tomar
. Assim a série que vou resolver é
O que se pede:
- Determinar se a série é convergente ou divergente.
- Se for convergente, calcular a sua soma.
Passo 2
Simplificar o termo geral. Primeiro escrevo
e uso que
. Assim
Reescrevendo
, fica
Passo 3
Identificar a forma de série geométrica. Uma série geométrica tem, em geral, duas formas comuns:
Aqui
é a razão (o fator que se repete a cada termo) e
ou
é um coeficiente inicial. Critério de convergência: uma série geométrica infinita converge se, e somente se,
. Nesse caso a soma é dada por
ou equivalentemente, se tivermos
, a soma é
.
Passo 4
Identificar
e
no nosso caso. Da forma encontrada no Passo 2,
tem
e
quando a escrevemos como
. Também o primeiro termo (para
) é
Passo 5
Verificar convergência pelo valor absoluto da razão. Calculo
Como
, a condição de convergência de série geométrica é satisfeita. Portanto a série é convergente.
Passo 6
Calcular a soma. Uso a forma
com
e
. A fórmula dá
Agora simplifico passo a passo:
e
Então
Resposta
Convergente
Soma =
Soma =