Determine se a série geométrica é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule sua soma.
Σ_{n=1}^{∞} \frac{3^{*-1}}{(-2)^{n}}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. O exercício dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{*-1}}{(-2)^{n}}.
Vou interpretar o símbolo estranho 3^{*-1} como um erro de digitação e tomar 3^{*-1}=3^{-1}. Assim a série que vou resolver é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{-1}}{(-2)^{n}}.
O que se pede:
  1. Determinar se a série é convergente ou divergente.
  2. Se for convergente, calcular a sua soma.

Passo 2

Simplificar o termo geral. Primeiro escrevo 3^{-1}=\tfrac{1}{3} e uso que (-2)^{n}=(-1)^{n}2^{n}. Assim
\frac{3^{-1}}{(-2)^{n}}=\frac{1/3}{(-2)^{n}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{(-2)^{n}}=\frac{1}{3}(-2)^{-n}.
Reescrevendo (-2)^{-n}=\big((-2)^{-1}\big)^{n}=\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}, fica
\frac{3^{-1}}{(-2)^{n}}=\frac{1}{3}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}.

Passo 3

Identificar a forma de série geométrica. Uma série geométrica tem, em geral, duas formas comuns:
\text{(a)}\quad\sum_{n=1}^{\infty}a_{1}r^{\,n-1}\qquad\text{ou}\qquad \text{(b)}\quad\sum_{n=1}^{\infty}b\,r^{\,n}.
Aqui r é a razão (o fator que se repete a cada termo) e a_{1} ou b é um coeficiente inicial. Critério de convergência: uma série geométrica infinita converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é dada por
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty}b\,r^{n},\quad \text{então soma }=\frac{b r}{1-r},ã
ou equivalentemente, se tivermos \sum_{n=1}^{\infty}a_{1}r^{n-1}, a soma é \dfrac{a_{1}}{1-r}.

Passo 4

Identificar b e r no nosso caso. Da forma encontrada no Passo 2,
\frac{1}{3}\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}
tem b=\tfrac{1}{3} e r=-\tfrac{1}{2} quando a escrevemos como \sum_{n=1}^{\infty}b\,r^{n}. Também o primeiro termo (para n=1) é
a_{1}= \frac{1}{3}\left(-\tfrac{1}{2}\right)= -\tfrac{1}{6}.

Passo 5

Verificar convergência pelo valor absoluto da razão. Calculo
|r|=\left|-\tfrac{1}{2}\right|=\tfrac{1}{2}.
Como \tfrac{1}{2}<1, a condição de convergência de série geométrica é satisfeita. Portanto a série é convergente.

Passo 6

Calcular a soma. Uso a forma \sum_{n=1}^{\infty}b\,r^{n} com b=\tfrac{1}{3} e r=-\tfrac{1}{2}. A fórmula dá
\text{soma}=\frac{b r}{1-r}=\frac{\dfrac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)}{1-(-\dfrac{1}{2})}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{1}{3}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{1}{6},
e
1-(-\tfrac{1}{2})=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
Então
\text{soma}=\frac{-\dfrac{1}{6}}{\dfrac{3}{2}}=-\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{18}=-\dfrac{1}{9}.

Resposta

Convergente
Soma = -\tfrac{1}{9}

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