Determine se a série é convergente ou divergente expressando
como uma soma telescópica (como no Exemplo 2). Se ela for convergente, calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente ou divergente, expressando como uma soma telescópica (como no exemplo). Se for convergente, calcular a soma.
Informações dadas:
é convergente ou divergente, expressando
Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - Precisamos trabalhar com as somas parciais
e estudar o limite .
Passo 2
Defino a soma parcial e explico o que significa convergência aqui.
A soma parcial é
A soma parcial é
Uma série
converge se, e somente se, a sequência de somas parciais
tem limite finito quando
. A ideia de soma telescópica é escrever
de modo que muitos termos internos se cancelem, sobrando apenas alguns termos no começo e no fim.
Passo 3
Vou expandir as primeiras parcelas de
para ver o cancelamento (isso é a “telescopia”). Expansão:
Agora observe os termos:
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante — cada termo interno aparece com sinal mais numa parcela e com sinal menos na parcela seguinte.
Passo 4
Depois de todos os cancelamentos internos, ficam apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo, para todo
,
Como
, podemos escrever também
Passo 5
Agora estudamos o limite quando
. Sabemos que
porque a raiz cresce sem limite e seu recíproco tende a zero. Portanto
Como a sequência de somas parciais tem limite finito igual a
, a série converge e sua soma é
.
Passo 6
Comentário didático (como reconhecer isso rápido numa prova): sempre que o termo geral tiver a forma
com alguma sequência
, a soma parcial telescopa e
Aqui
. Portanto, olhar para diferenças de termos consecutivos é a chave para identificar uma telescopia rápida. Relaxe — uma vez que você vir o padrão, a conta é imediata.
Resposta
Convergente; soma =