Determine se a série é convergente ou divergente expressando s_{"} como uma soma telescópica (como no Exemplo 2). Se ela for convergente, calcule sua soma.
Σ_{n=1}^{∞}(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}})

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\biggl(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\biggr)
é convergente ou divergente, expressando s_{N} como uma soma telescópica (como no exemplo). Se for convergente, calcular a soma.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}} para n=1,2,\dots.
  • Precisamos trabalhar com as somas parciais s_{N}=\sum_{n=1}^{N} a_n e estudar o limite \lim_{N\to\infty}s_{N}.

Passo 2

Defino a soma parcial e explico o que significa convergência aqui.
A soma parcial é
s_{N}=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right).
Uma série \sum a_n converge se, e somente se, a sequência de somas parciais (s_N)_{N\ge1} tem limite finito quando N\to\infty. A ideia de soma telescópica é escrever s_N de modo que muitos termos internos se cancelem, sobrando apenas alguns termos no começo e no fim.

Passo 3

Vou expandir as primeiras parcelas de s_N para ver o cancelamento (isso é a “telescopia”). Expansão:
\begin{aligned} s_{N} &= \left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{\sqrt{N}}-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right). \end{aligned}
Agora observe os termos: -\frac{1}{\sqrt{2}} cancela com +\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{3}} cancela com +\frac{1}{\sqrt{3}}, e assim por diante — cada termo interno aparece com sinal mais numa parcela e com sinal menos na parcela seguinte.

Passo 4

Depois de todos os cancelamentos internos, ficam apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Logo, para todo N\ge1,
s_{N}= \frac{1}{\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{N+1}}.
Como \frac{1}{\sqrt{1}}=1, podemos escrever também
s_{N}=1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}.

Passo 5

Agora estudamos o limite quando N\to\infty. Sabemos que \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{\sqrt{N+1}}=0 porque a raiz cresce sem limite e seu recíproco tende a zero. Portanto
\lim_{N\to\infty} s_{N} = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{\sqrt{N+1}}\right)=1-0=1.
Como a sequência de somas parciais tem limite finito igual a 1, a série converge e sua soma é 1.

Passo 6

Comentário didático (como reconhecer isso rápido numa prova): sempre que o termo geral tiver a forma b_n-b_{n+1} com alguma sequência b_n, a soma parcial telescopa e
\sum_{n=1}^{N}(b_n-b_{n+1})=b_1-b_{N+1}.
Aqui b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Portanto, olhar para diferenças de termos consecutivos é a chave para identificar uma telescopia rápida. Relaxe — uma vez que você vir o padrão, a conta é imediata.

Resposta

Convergente; soma = 1

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