Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
A
B
C
B
C
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar qual das séries numéricas apresentadas representa o valor da integral definida:
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função seno em uma série e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função seno em uma série de potências. A série de Taylor para o seno é:
No nosso caso, temos $ y = 3x^{2} $, então substituímos:
Passo 3
Agora, substituímos essa série na integral original:
Passo 4
Aí, trocamos a soma e a integral, o que é permitido se a série converge uniformemente:
Passo 5
Vamos calcular a integral dentro da soma:
Passo 6
Substituímos de volta na série:
Resposta
A série que expressa o valor da integral é a opção: