Determine a série numérica que expressa o valor da seguinte integral definida
integral0^pi 2 sin (3 x^2)x d x
A sumn=0^infty 22 n+1 (-1)^n(2 n+1)! 3^2 n+1 pi^2 n+1
B sumn=0^infty 24 n+2 (-1)^n(2 n+1)! 3^4 n+2 pi^4 n+2
C sumn=0^infty 2 (-1)^n(2 n+1)! 3^2 n+1 pi^4 n+1
D sumn=0^infty 24 n+1 (-1)^n(2 n+1)! 3^4 n+1 pi^4 n+1
square sumn=0^infty 24 n+2 (-1)^n(2 n+1)! 3^2 n+1 pi^4 n+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar qual das séries numéricas apresentadas representa o valor da integral definida:
integral0^pi 2 sin (3 x^2)x , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais que envolvem funções trigonométricas e séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar expandir a função seno em uma série e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função seno em uma série de potências. A série de Taylor para o seno é:
sin(y) = sumn=0^infty (-1)^n y^2n+1(2n+1)!
No nosso caso, temos $ y = 3x^{2} $, então substituímos:
y = 3x^2

Passo 3

Agora, substituímos essa série na integral original:
integral0^pi 2 sin(3x^2)x , dx = integral0^pi 2x ( sumn=0^infty (-1)^n (3x^2)^2n+1(2n+1)! ) dx

Passo 4

Aí, trocamos a soma e a integral, o que é permitido se a série converge uniformemente:
2 sumn=0^infty (-1)^n 3^2n+1(2n+1)! integral0^pi x^4n+1 , dx

Passo 5

Vamos calcular a integral dentro da soma:
integral0^pi x^4n+1 , dx = [ x^4n+24n+2 ]0^pi = pi^4n+24n+2

Passo 6

Substituímos de volta na série:
2 sumn=0^infty (-1)^n 3^2n+1(2n+1)! cdot pi^4n+24n+2 = sumn=0^infty 24n+2 cdot (-1)^n(2n+1)! cdot 3^2n+1 pi^4n+2

Resposta

A série que expressa o valor da integral é a opção:
boxedE sumn=0^infty 24 n+2 (-1)^n(2 n+1)! 3^2 n+1 pi^4 n+2

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