Determine o maior intervalo de convergência , da série .
A .
B .
C A série converge somente em .
D . .
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série de potências . O conteúdo é intervalo de convergência de séries de potências; vamos precisar usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos .
Passo 2
Aplicar o teste da razão: definimos . Então
Como a série converge se L<1, concluímos que o raio de convergência é R=1 e ela converge em |x|<1.
Passo 3
Testar o extremo x=1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n14n+5, que é alternante com termos 1/(4n+5) decrescentes a zero, logo converge (teste de Leibniz).
Passo 4
Testar o extremo x=-1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^n4n+5 = sumn=1^infty14n+5, que é comparável a sum1/n e diverge. Portanto, o maior intervalo de convergência é