Determine o maior intervalo de convergência I, da série sumn=1^infty(-1)^n x^n4 n+5.
A I=(-45, 45].
B I=[-1,1).
C A série converge somente em x=0.
D I=[-54, 54).
I=(-1,1].

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências sumn=1^infty(-1)^nx^n4n+5. O conteúdo é intervalo de convergência de séries de potências; vamos precisar usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois testar os extremos x=pm1.

Passo 2

Aplicar o teste da razão: definimos an = (-1)^n4n+5. Então
L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| = limntoinftyl|xr|4n+54n+9 = |x|
Como a série converge se L<1, concluímos que o raio de convergência é R=1 e ela converge em |x|<1.

Passo 3

Testar o extremo x=1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n14n+5, que é alternante com termos 1/(4n+5) decrescentes a zero, logo converge (teste de Leibniz).

Passo 4

Testar o extremo x=-1: a série vira
sumn=1^infty(-1)^n(-1)^n4n+5 = sumn=1^infty14n+5, que é comparável a sum1/n e diverge. Portanto, o maior intervalo de convergência é
(-1,1]

Resposta

(-1,1]

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