Determine se a série
é convergente e justifique usando o teste que preferir.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
é convergente, e justificar por um teste. Informações dadas e o que se quer:
- A série é alternada por causa do fator
. - Defino
. Então a série pode ser escrita como com para todo . - Preciso verificar critérios de convergência para séries alternadas e também checar convergência absoluta (se for o caso).
Passo 2
Vou lembrar o enunciado do teste que vou usar (Teste de Leibniz para séries alternadas), e explicar o que cada parte significa:
- Teste de Leibniz: se
é uma sequência de números positivos tal que -
é monótona decrescente a partir de algum (ou seja, existe tal que para todo ), e -
,
então a série alternadaconverge.
-
- Aqui
. Vou verificar as duas condições acima para esta .
Passo 3
Verificar que
.
- Escrevo
de forma útil: - À medida que
temos e , logo - Alternativamente, note que
para , e , então . Portanto a segunda condição do teste de Leibniz está satisfeita.
Passo 4
Verificar que
é monótona decrescente (pelo menos a partir de algum
).
- Considere a função contínua
para . Se for decrescente para , então será decrescente para . - Calculo a derivada de
. Usando derivada de e regra do quociente: Simplificando o numerador: Portanto - Para
o numerador é negativo, e o denominador é positivo, então para todo . Logo é decrescente em . - Consequência: a sequência
é decrescente a partir de . Assim a primeira condição do teste de Leibniz (monotonicidade eventual) também está satisfeita.
Passo 5
Aplicação do teste de Leibniz:
- Como
, é decrescente para e , pelo teste de Leibniz a série converge.
Passo 6
Verificar se a convergência é absoluta ou condicional (ou seja, estudar
).
- Vou mostrar que
diverge por comparação com uma série p-harmônica. - Para
temos . Assim - Portanto, para a soma das magnitudes vale
- A série
é uma série p com , e sabe-se que séries p divergem quando . Logo diverge, e por comparação segue que também diverge. - Conclusão: a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão final combinando os resultados:
- A série
converge pelo teste de Leibniz (alternada com termos decrescentes que tendem a zero). - A convergência não é absoluta, pois
diverge por comparação com .
Resposta
A série converge condicionalmente.
Não converge absolutamente.
Não converge absolutamente.