e pede para determinar se ela é convergente, com justificativa. Informações relevantes que o enunciado fornece:
A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
O numerador envolve \operatorname{sen}(2025 n), ou seja, a função seno avaliada em múltiplos inteiros de 2025.
Lembrete útil (valor que usarei): para todo x vale
-1 \le \operatorname{sen}(x) \le 1.
Passo 2
Escolha do método: como o denominador é n^{2}, a ideia natural é comparar com a série p (p-series) \sum 1/n^{p}. Vou usar o teste de comparação direta e, em seguida, discutir convergência absoluta — porque comparar com uma múltipla de 1/n^{2} é simples e suficiente.
Explicando o que é a p-series e o teste que vou usar:
A série p (ou série de Riemann) é \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}. Ela converge se, e somente se, p>1. No caso p=2 sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge (o valor é \pi^{2}/6, mas não preciso do valor exato aqui).
Teste de comparação direta (caso positivo): se 0\le a_n \le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge também.
Vou aplicar essas ideias ao nosso termo geral.
Passo 3
Usando a desigualdade do seno: para todo n temos
-1 \le \operatorname{sen}(2025 n) \le 1.
Somando 3 aos três membros da desigualdade obtemos
Em particular, os termos \dfrac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}} são não-negativos e estão majorados por \dfrac{4}{n^{2}}.
Passo 4
Comparação com a p-series: como \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n^{2}} = 4\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge (p=2>1), segue que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n^{2}} converge. Pelo teste de comparação direta, a série