Determine se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}}
é convergente e justifique usando o teste que preferir.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}}
e pede para determinar se ela é convergente, com justificativa. Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A soma é sobre n=1,2,3,\dots.
  • O numerador envolve \operatorname{sen}(2025 n), ou seja, a função seno avaliada em múltiplos inteiros de 2025.
  • Lembrete útil (valor que usarei): para todo x vale
-1 \le \operatorname{sen}(x) \le 1.

Passo 2

Escolha do método: como o denominador é n^{2}, a ideia natural é comparar com a série p (p-series) \sum 1/n^{p}. Vou usar o teste de comparação direta e, em seguida, discutir convergência absoluta — porque comparar com uma múltipla de 1/n^{2} é simples e suficiente.
Explicando o que é a p-series e o teste que vou usar:
  • A série p (ou série de Riemann) é \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}}. Ela converge se, e somente se, p>1. No caso p=2 sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge (o valor é \pi^{2}/6, mas não preciso do valor exato aqui).
  • Teste de comparação direta (caso positivo): se 0\le a_n \le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge também.
Vou aplicar essas ideias ao nosso termo geral.

Passo 3

Usando a desigualdade do seno: para todo n temos
-1 \le \operatorname{sen}(2025 n) \le 1.
Somando 3 aos três membros da desigualdade obtemos
2 \le 3+\operatorname{sen}(2025 n) \le 4.
Dividindo por n^{2}>0 (para todo n\ge1) segue
\frac{2}{n^{2}} \le \frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}}.
Em particular, os termos \dfrac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}} são não-negativos e estão majorados por \dfrac{4}{n^{2}}.

Passo 4

Comparação com a p-series: como \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n^{2}} = 4\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} e sabemos que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{2}} converge ( p=2>1), segue que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{4}{n^{2}} converge. Pelo teste de comparação direta, a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}}
converge.

Passo 5

Convergência absoluta (reforço): para todo n,
\left|\frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}}\right| \le \frac{|3+\operatorname{sen}(2025 n)|}{n^{2}} \le \frac{4}{n^{2}},
porque |3+\operatorname{sen}(2025 n)|\le 4. Como \sum 4/n^{2} converge, a série dos valores absolutos converge, isto é,
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{3+\operatorname{sen}(2025 n)}{n^{2}}\right|
converge. Logo a série original converge absolutamente, o que implica convergência simples também.

Resposta

A série converge absolutamente (logo é convergente).

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