Determine se a série \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\frac{1}{n^{2}}\right) é convergente ou divergente. Use o Teste da Comparação, comparando-a com uma série-p apropriada. (Dica: lembre-se da desigualdade \sin (x) \leq x para x \geq 0 ).

Passo 1

O enunciado quer saber se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)
é convergente ou divergente. O conteúdo principal é o Teste da Comparação para séries de termos não negativos, e vamos usar a desigualdade \sin(x)\le x para x\ge0.

Passo 2

Observamos que, para todo n\ge1, temos
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\ge 0,
logo podemos aplicar o Teste da Comparação direta com outra série de termos não negativos.

Passo 3

Pela dica, usando \sin(x)\le x para x\ge0 com x=\tfrac{1}{n^{2}}, obtemos
\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)\le \tfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Sabemos que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{n^{2}}
é convergente, pois é uma série-p com p=2>1.

Passo 5

Como 0 \le \sin(\tfrac{1}{n^{2}})\le \tfrac{1}{n^{2}} e \sum 1/n^{2} converge, pelo Teste da Comparação direta concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr)
também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\bigl(\tfrac{1}{n^{2}}\bigr) é convergente.

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