Use o Teste da Raiz para determinar se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem condicionalmente ou divergem.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Raiz na série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n^{2}}.
A teoria do Teste da Raiz diz que, se
L = \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|},
então a série converge absolutamente se L<1, diverge se L>1 e o teste é inconclusivo se L=1.

Passo 2

Identificamos o termo geral
a_n = \Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n^{2}},
que é positivo, logo |a_n|=a_n. Calculamos
\sqrt[n]{|a_n|} \;=\;\sqrt[n]{\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n^{2}}} \;=\;\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Avaliamo-s o limite
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n}\Bigr)^{n} = e^{-1}.
Assim,
L = e^{-1} = \frac{1}{e} < 1.

Passo 4

Como L<1, pelo Teste da Raiz a série converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente.

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