Determine se a série sumn=1^infty 1n(1+ln ^2 n) converge ou diverge. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma série infinita do tipo:
sumn=1^infty 1n(1+ln ^2 n)
O objetivo é descobrir se essa série converge (ou seja, tem uma soma finita) ou diverge (não tem soma finita). Para isso, vamos precisar usar o Teste da Integral, que nos ajuda a analisar séries comparando com integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Integral. Esse teste diz que, se temos uma série sumn=1^infty an com termos positivos e decrescentes, podemos investigar a convergência da série analisando a integral correspondente:
integral1^infty a(x) , dx
Se a integral converge, a série também converge. Se a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

No nosso caso, temos:
an = 1n(1+ln ^2 n)
Vamos tratar an como uma função contínua a(x):
a(x) = 1x(1+ln ^2 x)
Agora, precisamos verificar se a(x) é positiva e decrescente para x >= 1. Claramente, para x >= 1, a(x) > 0. E como o denominador aumenta com x, a(x) é decrescente.

Passo 4

Agora, aplicamos o Teste da Integral:
integral1^infty 1x(1+ln ^2 x) , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar u = ln x. Então, du = 1x dx. Quando x = 1, u = 0. Quando x to infty, u to infty.

Passo 5

Com a substituição, a integral fica:
integral0^infty 11 + u^2 , du
Essa é uma integral conhecida. A função 11 + u^2 tem uma antiderivada que é arctan(u).

Passo 6

Calculando a integral:
integral0^infty 11 + u^2 , du = [ arctan(u) ]0^infty = pi2 - 0 = pi2
Então, a integral converge para pi2, que é um número finito.

Passo 7

Como a integral correspondente converge, pelo Teste da Integral, a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n(1+ln ^2 n) converge.

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