Use o teorema de Lagrange para encontrar xi1 e xi2 conforme o caso:
(22.1) f(x, y) = x^2 + 3xy - y^2 ; x in [1, 3] e y = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para usar o Teorema de Lagrange para encontrar os valores xi1 e xi2 da função , onde x está no intervalo [1, 3] e y é igual a 4. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Médio (que é o Teorema de Lagrange) e calcular derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, como é constante, a função f(x, y) se torna uma função de x apenas. Vamos substituir y por 4 na função:
Agora temos .

Passo 3

O Teorema do Valor Médio nos diz que se uma função é contínua no intervalo fechado [a, b] e diferenciável no intervalo aberto (a, b), então existe pelo menos um ponto xi em (a, b) tal que:
Vamos verificar se a nossa função atende aos requisitos. Nossa função é um polinômio, que é contínuo e diferenciável em todos os lugares, então podemos aplicar o teorema.

Passo 4

Vamos calcular f(3) e f(1):

Passo 5

Agora, aplicando o Teorema do Valor Médio:

Passo 6

Vamos encontrar a derivada de f(x):
Agora, igualamos a derivada ao resultado do teorema:

Passo 7

Resolvendo para xi:

Resposta

O valor de xi1 é .

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