Determine se a série sumn=1^infty(-1)^n(n^7+7 n-n+en^7-5 n+pi) converge ou diverge.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada n. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n ( n^7 + 7n - n + en^7 - 5n + pi )
Vamos analisar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisaremos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz).

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão dentro da série para facilitar a análise:
n^7 + 7n - n + en^7 - 5n + pi = n^7 + 6n + en^7 - 5n + pi

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando limn to infty n^7 + 6n + en^7 - 5n + pi = limn to infty n^7(1 + 6n^6 + en^7)n^7(1 - 5n^6 + pin^7) = 11 = 1 tende ao infinito. Os termos de maior grau no numerador e denominador são :

Passo 4

No Teste da Série Alternada, para que a série converge, duas condições devem ser atendidas:
  1. Os termos devem ser decrescentes: para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito deve ser zero: .

Passo 5

No nosso caso, vimos que:
limn to infty ( n^7 + 6n + en^7 - 5n + pi ) = 1 neq 0
Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.

Resposta

A série diverge.

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