Determine se a série sumn=1^infty n^6-7 n^4+3 n-115 n^7+3 n^2+7 n-10 converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos usar o conteúdo de séries infinitas e, mais especificamente, o teste do termo geral e o teste da comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento geral dos termos da série quando fica muito grande. Nos numeradores e denominadores, os termos de maior grau são os que mais influenciam o comportamento da fração.
No numerador, o termo de maior grau é e, no denominador, é . Então, para grande, a fração se aproxima de .

Passo 3

Agora, vamos comparar a nossa série com a série , que é uma série harmônica conhecida por divergir.
Como para grande, e a série também diverge (já que é uma constante múltipla de uma série divergente), concluímos que a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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