Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(d) 
 
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série 
  converge ou diverge. Vamos usar conceitos de séries matemáticas, especificamente o Teste da Série p e o Teste da Comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento dos termos da série quando 
  fica bem grande (ou seja, tende ao infinito). No denominador 
 , o termo que mais cresce é 
  se 
 . Portanto, para valores grandes de 
 , podemos aproximar o denominador por 
 .
Passo 3
Com essa aproximação, a fração original 
  fica aproximadamente 
 . Isso simplifica nossa série para algo parecido com uma série p, que tem a forma 
 .
Passo 4
Sabemos pelo Teste da Série p que a série 
  converge se 
  e diverge se 
 . No nosso caso, o 
  é 
 .
Passo 5
Agora, vamos determinar para quais valores de 
  a condição 
  é satisfeita:
Passo 6
Portanto, se 
 , o 
  e a série 
  converge. Isso significa que a série original também converge por comparação.
Passo 7
Por outro lado, se 
 , então 
 , o que faz com que 
 . Nesse caso, a série 
  diverge, implicando que a série original também diverge.
Resposta
A série 
  converge se 
  e diverge se 
 .