Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Cite os critérios utilizados e justifique.
(a) 
 
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar se a série 
  é convergente ou divergente. Esse problema está relacionado a séries infinitas e aos critérios de convergência que usamos para analisar elas. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e alguns testes de convergência, como o Teste da Razão ou o Teste da Série Alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a série dada é uma série alternada, porque o termo 
  alterna o sinal dependendo do valor de 
 . Isso significa que os termos da série vão mudando de positivo para negativo e vice-versa.
Passo 3
Agora, para determinar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que uma série da forma 
  converge se duas condições forem satisfeitas:
- 
é decrescente: para todo .  - 
.  
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Primeiro, identificamos 
 .
Para que 
  seja decrescente, precisamos que 
  diminua conforme 
  aumenta.
Passo 5
Observamos que 
  é uma função que diminui conforme 
  aumenta, já que o logaritmo natural cresce. Porém, 
  depende do valor de 
 :
- Se 
: tende a zero conforme aumenta.  - Se 
: permanece constante em magnitude.  - Se 
: cresce sem limite conforme aumenta.  
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
- 
Para
: - 
tende a zero.  - 
também tende a zero, mas mais lentamente.  - Portanto, 
tende a zero.  - Além disso, 
é decrescente.  - Assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
 
 - 
 - 
Para
: - 
, então .  - O limite de 
é zero, mas precisamos verificar se é decrescente.  - 
é decrescente, porém não converge absolutamente.  - Ainda assim, pelo Teste da Série Alternada, a série converge condicionalmente.
 
 - 
 - 
Para
: - 
cresce sem limite.  - 
diminui, mas não o suficiente para compensar o crescimento de .  - Portanto, 
não tende a zero, e a série diverge.  
 - 
 
Resposta
A série 
  converge se 
  e diverge se 
 . Utilizamos o Teste da Série Alternada para determinar isso.