Determine se as séries convergem.
\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n!)^{2}}{n^{n}};

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} a_n,
onde
a_n = \frac{(n!)^2}{n^n}.
O conteúdo principal é teste de razão para séries de termos positivos. Vamos aplicar o teste de razão.

Passo 2

Calcular a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\bigl((n+1)!\bigr)^2/(n+1)^{\,n+1}}{(n!)^2/n^n} = \frac{(n+1)^2\,(n!)^2}{(n+1)^{\,n+1}}\;\frac{n^n}{(n!)^2} = (n+1)\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n}.

Passo 3

Analisar o limite da razão quando n\to\infty. Note que
\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{n} =\Bigl(1-\frac1{n+1}\Bigr)^{n}\;\longrightarrow\;e^{-1}.
Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =\lim_{n\to\infty}(n+1)\,e^{-1} =+\infty>1.

Passo 4

Como o limite da razão é maior que 1, pelo teste da razão a série diverge. Além disso, em particular a_n\not\to0, o que também força a divergência.

Resposta

A série diverge.

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