Determine o raio de convergência das séries.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potência
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}}x^{n}.
Para encontrar o raio de convergência R, vamos usar o teste da raiz, que nos diz que
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \bigl|a_{n}\bigr|^{1/n}},
onde a_{n} = \frac{n!}{n^{n}}.

Passo 2

Escrevemos o termo geral elevado a 1/n:
\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} = \left(\frac{n!}{n^{n}}\right)^{1/n} = \frac{(n!)^{1/n}}{n}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty}(n!)^{1/n} usamos a fórmula de Stirling
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\Bigl(\frac{n}{e}\Bigr)^{n},
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(n!)^{1/n} \sim \Bigl(\sqrt{2\pi n}\Bigr)^{1/n}\,\frac{n}{e} \;\longrightarrow\;\frac{n}{e} \quad\text{quando }n\to\infty.
Então
\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} \sim \frac{n/e}{n} =\frac{1}{e} \quad\longrightarrow\quad\frac{1}{e}.

Passo 4

Pelo teste da raiz,
\limsup_{n\to\infty}\bigl|a_{n}\bigr|^{1/n} =\frac{1}{e},
portanto
R = \frac{1}{1/e} = e.

Resposta

e

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