Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
f(x) = { 0, -pi <= x <= 0; x, 0 <= x <= pi }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as séries de Fourier de uma função definida em um período. A função dada é:
Aqui, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o coeficiente , que representa a média da função no período. A fórmula para é:
Vamos calcular essa integral dividindo-a nos intervalos onde a função está definida.

Passo 3

Para , temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Como é uma função ímpar (já que ), e o cosseno é uma função par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto, todos os são iguais a zero:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes , que correspondem aos termos de seno na série. A fórmula é:
Como é ímpar e o seno também é ímpar, o produto será uma função par. Então, podemos simplificar a integral:

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde e , temos e . Aplicando:
Agora, avaliamos de 0 a :
Porque e .

Passo 7

Substituindo de volta em :

Resposta

A série de Fourier da função dada é:

Exercícios relacionados