Determine as séries de Fourier das funções abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as séries de Fourier de uma função definida em um período. A função dada é:
Aqui, vamos usar conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Para isso, vamos precisar calcular os coeficientes
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o coeficiente
, que representa a média da função no período. A fórmula para
é:
Vamos calcular essa integral dividindo-a nos intervalos onde a função está definida.
Passo 3
Para
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que correspondem aos termos de cosseno na série. A fórmula é:
Como
é uma função ímpar (já que
), e o cosseno é uma função par, o produto será ímpar. A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto, todos os
são iguais a zero:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
, que correspondem aos termos de seno na série. A fórmula é:
Como
é ímpar e o seno também é ímpar, o produto será uma função par. Então, podemos simplificar a integral:
Passo 6
Vamos resolver a integral:
Usando integração por partes, onde
e
, temos
e
. Aplicando:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Porque
e
.
Passo 7
Substituindo de volta em
:
Resposta
A série de Fourier da função dada é: