Seja
a fronteira da região delimitada por
e
. Supondo que
esteja orientada no sentido anti-horário, calcule as integrais seguintes usando o Teorema de Green: (Ex 14)
25.1.
25.1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teorema de Green. A gente tem a fronteira
delimitada pelas curvas
e
, orientada no sentido anti-horário. Queremos calcular a integral de linha:
Para isso, vamos precisar do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
e uma região
limitada por
:
No nosso caso, temos
e não há termo de
, então
.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Então, a integral dupla fica:
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região
. As curvas são
e
. Vamos encontrar os pontos de interseção:
Então,
varia de 0 a 2. Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 5
Montando a integral dupla com os limites encontrados:
Vamos primeiro integrar em relação a
, mantendo
fixo.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 2:
Vamos calcular cada termo separadamente:
Somando tudo:
Resposta
Convertendo para um denominador comum e somando:
Então, o valor da integral é: