Seja C a fronteira da região delimitada por y=x^2 e y=2 cdot x. Supondo que C esteja orientada no sentido anti-horário, calcule as integrais seguintes usando o Teorema de Green: (Ex 14)
25.1.
ointc(6 cdot x cdot y-y^2) cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando o Teorema de Green. A gente tem a fronteira ointC (6xy - y^2) dx delimitada pelas curvas e , orientada no sentido anti-horário. Queremos calcular a integral de linha:
Para isso, vamos precisar do Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC (P dx + Q dy) = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e uma região limitada por :
No nosso caso, temos e não há termo de , então .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green, a integral fica:
integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA = integral duplaD ( 0 - partialpartial y(6xy - y^2) ) dA
Vamos calcular a derivada parcial de partial Ppartial y = partialpartial y(6xy - y^2) = 6x - 2y em relação a integral duplaD (-6x + 2y) dA :
Então, a integral dupla fica:

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para a região x^2 = 2x implies x^2 - 2x = 0 implies x(x - 2) = 0 implies x = 0 ou x = 2 . As curvas são e . Vamos encontrar os pontos de interseção:
Então, varia de 0 a 2. Para cada nesse intervalo, varia de até .

Passo 5

Montando a integral dupla com os limites encontrados:
integral0^2 integralx^2^2x (-6x + 2y) , dy , dx
Vamos primeiro integrar em relação a , mantendo fixo.

Passo 6

Integrando integralx^2^2x (-6x + 2y) , dy = [ -6x y + y^2 ]x^2^2x em relação a = ( -6x (2x) + (2x)^2 ) - ( -6x (x^2) + (x^2)^2 ) :
= ( -12x^2 + 4x^2 ) - ( -6x^3 + x^4 )
Substituindo os limites:
= (-8x^2) - (-6x^3 + x^4) = -8x^2 + 6x^3 - x^4

Passo 7

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^2 (-8x^2 + 6x^3 - x^4) , dx de 0 a 2:
integral0^2 -8x^2 , dx = -8 [ x^33 ]0^2 = -8 ( 83 - 0 ) = -643
Vamos calcular cada termo separadamente:
integral0^2 6x^3 , dx = 6 [ x^44 ]0^2 = 6 ( 164 - 0 ) = 24
integral0^2 -x^4 , dx = - [ x^55 ]0^2 = - ( 325 - 0 ) = -325
- 643 + 24 - 325 = - 643 + 1205 - 325 = - 643 + 885
Somando tudo:

Resposta

Convertendo para um denominador comum e somando:
- 643 + 885 = -32015 + 26415 = -5615
Então, o valor da integral é:
-5615

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