Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
f(x) = { 0, -pi <= x <= 0 ; x, 0 <= x <= pi } T =
2 pi

Passo 1

Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Fourier da função que é definida por partes no intervalo de um período . A matéria que vamos usar é a Série de Fourier para funções periódicas, e vamos precisar calcular os coeficientes dessa série (como , e ) para representar a função de forma aproximada usando senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a função é par, ímpar ou nenhuma das duas. Olhando para :
Como e , a função não é nem par nem ímpar. Então, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno na série de Fourier.

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente , que representa a média da função no período:
Substituindo :

Passo 4

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a :
Sabemos que e , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Substituindo :
Vamos resolver essa integral por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a :
Sabemos que e , então:

Resposta

A série de Fourier da função é dada por:

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