Determine as séries de Fourier das funçõess abaixo (definidas em um período):
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a série de Fourier da função
que é definida por partes no intervalo de um período
. A matéria que vamos usar é a Série de Fourier para funções periódicas, e vamos precisar calcular os coeficientes dessa série (como
,
e
) para representar a função
de forma aproximada usando senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a função
é par, ímpar ou nenhuma das duas. Olhando para
:
Como
e
, a função não é nem par nem ímpar. Então, teremos tanto termos de cosseno quanto de seno na série de Fourier.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Substituindo
:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Vamos resolver essa integral por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando a integração por partes:
Avaliando de 0 a
:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A série de Fourier da função
é dada por: