Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3 n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n}
como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Vamos usar o Teste da Série Alternante (Leibniz) e o teste da p-série para ver se a série de termos absolutos converge.

Passo 2

Analisando a convergência absoluta, considere
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl|\frac{(-1)^{n+1}}{3n}\Bigr| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3n} = \tfrac13\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} é a série harmônica, ela diverge. Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{3n}
não é absolutamente convergente.

Passo 3

Para ver se ela converge condicionalmente, aplicamos o Teste de Leibniz à série alternante \sum(-1)^{n+1}b_n com b_n = \tfrac{1}{3n}. Verificamos:
  1. b_n>0 para todo n.
  2. A sequência (b_n) é decrescente, pois 1/(3n+3)<1/(3n).
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{3n} = 0.
    Como todas as condições do Teste de Leibniz estão satisfeitas, a série alternante converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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