Determine se as séries indicadas são Absolutamente Convergentes, Condicionalmente Convergentes ou Divergentes, justificando:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n+2}{n(n+3)}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{n+2}{n(n+3)}
em absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. O conteúdo principal é teste de conjugação absoluta (comparação com séries p-série) e teste de Leibniz para séries alternantes.

Passo 2

Vamos testar a convergência absoluta, isto é, analisar
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+2}{n(n+3)}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2}{n(n+3)}.
Para grandes n,
\frac{n+2}{n(n+3)} =\frac{n\bigl(1+\tfrac2n\bigr)}{n^2\bigl(1+\tfrac3n\bigr)} \sim\frac{1}{n}.
Como \sum1/n diverge (série harmônica), pela comparação-limite com 1/n temos
\lim_{n\to\infty}\frac{\tfrac{n+2}{n(n+3)}}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n+3}=1
e, portanto, \sum|a_n| diverge. Logo, a série não é absolutamente convergente.

Passo 3

Agora aplicamos o teste de Leibniz (séries alternantes). Seja
a_n=\frac{n+2}{n(n+3)}>0.
  1. Limite nulo:
\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{n^2+3n} =0.
  1. Monotonicidade: considere a função contínua
f(x)=\frac{x+2}{x(x+3)},\quad x\ge1.
Calculando a derivada,
f'(x) =\frac{(1)(x^2+3x)-(x+2)(2x+3)}{(x^2+3x)^2} =\frac{-x^2-4x-6}{(x^2+3x)^2}<0
para todo x\ge1. Assim, a_n=f(n) é decrescente.
Pelas condições do teste de Leibniz, a série alternante converge.

Resposta

A série é condicionalmente convergente.

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