Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}, D: 1<|z|<2

Passo 1

O enunciado pede a expansão de Maclaurin (isto é, a série em potências de z e de z^{-1} centrada em 0) da função
f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}
válida no anel 1<|z|<2. Para isso, vamos usar a série geométrica em duas regiões distintas: |z|>1 para \tfrac{1}{z-1} e |z|<2 para \tfrac{1}{z-2}.

Passo 2

Expandir \displaystyle \frac{1}{z-1} em potências negativas de z, válido para |z|>1. Escrevemos
\frac{1}{z-1} =\frac{1}{z}\,\frac{1}{1-\tfrac{1}{z}} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{z}\Bigr)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}z^{-(n+1)} =\sum_{m=1}^{\infty}z^{-m}.

Passo 3

Expandir \displaystyle \frac{1}{z-2} em potências não negativas de z, válido para |z|<2. Escrevemos
\frac{1}{z-2} =-\frac{1}{2}\,\frac{1}{1-\tfrac{z}{2}} =-\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{z}{2}\Bigr)^{n} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{\,n+1}}.

Passo 4

Agora subtraímos as duas séries para obter f(z):
f(z) =\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2} =\sum_{m=1}^{\infty}z^{-m} \;-\;\biggl(-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{\,n+1}}\biggr) =\sum_{m=1}^{\infty}z^{-m}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{\,n+1}}.

Resposta

f(z) =\sum_{m=1}^{\infty}z^{-m} +\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{2^{\,n+1}}, \quad 1<|z|<2.

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