Determine as séries de Maclaurin das funções abaixo:
f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}, D:|z|>2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Maclaurin de
f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}
válida no domínio D:\lvert z\rvert>2.
Como queremos uma série em potências de z (possivelmente com potências negativas) centrada em 0 e convergente para \lvert z\rvert>2, vamos reescrever cada termo usando a identidade da série geométrica
\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n,\quad |w|<1,
de modo a obter potências de 1/z, já que para \lvert z\rvert>2 temos \lvert1/z\rvert<1 e \lvert2/z\rvert<1.

Passo 2

Para \displaystyle \frac{1}{z-1} fazemos
\frac{1}{z-1} =\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{z}}
e aplicamos a série geométrica com w=1/z, obtendo
\frac{1}{z-1} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac1z\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-1},
válido para \lvert z\rvert>1\subset\{\,\lvert z\rvert>2\}.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{1}{z-2} escrevemos
\frac{1}{z-2} =\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{1-\frac{2}{z}}
e usamos a série geométrica com w=2/z, o que dá
\frac{1}{z-2} =\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{2}{z}\Bigr)^n =\sum_{n=0}^{\infty}2^n\,z^{-n-1},
válido para \lvert2/z\rvert<1, isto é \lvert z\rvert>2.

Passo 4

Subtraindo termo a termo as duas séries, obtemos
f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}z^{-n-1} -\sum_{n=0}^{\infty}2^n\,z^{-n-1} =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(1-2^n\bigr)\,z^{-n-1},
e essa série converge exatamente para \lvert z\rvert>2.

Resposta

f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(1-2^n\bigr)\,z^{-n-1}, \quad\text{válida para }\lvert z\rvert>2.á

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