Determine se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem (apenas condicionalmente) ou divergem. Justifique cada resposta.
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{1+\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{1+\sqrt{n}}
e decidir se ela converge absolutamente, apenas condicionalmente ou diverge. Vamos usar dois testes: o de convergência absoluta (comparação ou integral) e o de série alternada (Teste de Leibniz).

Passo 2

Estudando a convergência absoluta, olhamos a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\!(-1)^{n}\frac{1}{1+\sqrt{n}}\right| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}.
Para n\ge2 temos 1+\sqrt{n}\le2\sqrt{n}, logo
\frac{1}{1+\sqrt{n}}\ge\frac{1}{2\sqrt{n}}.
Mas \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{2\sqrt{n}} diverge (é uma p-série com p=\tfrac12<1). Pelo critério da comparação, \sum 1/(1+\sqrt{n}) diverge, então a série não converge absolutamente.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste de Leibniz à série alternada \sum(-1)^n b_n com
b_n=\frac{1}{1+\sqrt{n}}.
  1. Limite nulo: \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\sqrt{n}}=0.
  2. Monotonia: como o denominador 1+\sqrt{n} cresce com n,
    temos b_{n+1}<b_n para todo n.
Pelos requisitos do Teste de Leibniz, a série alternada converge.

Passo 4

Concluímos que a série converge (por ser alternada com termos decrescentes que tendem a zero) mas não converge absolutamente.

Resposta

A série converge apenas condicionalmente.

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