Determine se as séries a seguir convergem absolutamente, convergem (apenas condicionalmente) ou divergem. Justifique cada resposta. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{1+\sqrt{n}}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{1+\sqrt{n}}
e decidir se ela converge absolutamente, apenas condicionalmente ou diverge. Vamos usar dois testes: o de convergência absoluta (comparação ou integral) e o de série alternada (Teste de Leibniz).
Passo 2
Estudando a convergência absoluta, olhamos a série dos valores absolutos
Mas \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{2\sqrt{n}} diverge (é uma p-série com p=\tfrac12<1). Pelo critério da comparação, \sum 1/(1+\sqrt{n}) diverge, então a série não converge absolutamente.
Passo 3
Agora aplicamos o Teste de Leibniz à série alternada \sum(-1)^n b_n com