Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{3^{k} \sqrt{k}} x^{k}

Passo 1

O enunciado apresenta a série de Maclaurin
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{3^{k}\sqrt{k}}\,x^{k}
Queremos (i) determinar o raio de convergência dessa série e o conjunto de x em que ela converge, inclusive nos extremos, e (ii) verificar se, dentro desse raio, a função dada pela soma da série é igual à sua própria série de Taylor.

Passo 2

Usamos o Critério da Raiz para achar o raio R. Seja
a_k=\frac{(-1)^{k}}{3^{k}\sqrt{k}}.
Então
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert a_k\rvert} =\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{\frac{1}{3^k\sqrt{k}}} =\frac{1}{3}\,\lim_{k\to\infty}k^{-1/(2k)} =\frac{1}{3}.
Logo, pelo Critério da Raiz, o raio de convergência é
R=\frac{1}{\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\lvert a_k\rvert}}=3.

Passo 3

A série converge absolutamente para \lvert x\rvert<3. Verificamos os extremos:
x=3:\quad f(3)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{3^k\sqrt{k}}\;3^k =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}},
que converge condicionalmente por ser alternada e de termo geral decrescente a zero.
x=-3:\quad f(-3)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k}{3^k\sqrt{k}}(-3)^k =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k}},
que diverge pois é comparável à série 1/\sqrt{k}.
Portanto o intervalo de convergência é
-3<x\le3,
e o disco de convergência (campo real) é \lvert x\rvert<3, com convergência condicional em x=3.

Passo 4

Séries de potências definem funções analíticas no interior do disco de convergência. Logo, para \lvert x\rvert<3, a soma
f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{3^{k}\sqrt{k}}\,x^{k}
é uma função de classe C^\infty e coincide com sua série de Taylor (Maclaurin) nessa região.

Resposta

Raio de convergência R=3; a série converge para \lvert x\rvert<3 (e convergência condicional em x=3). Para todo \lvert x\rvert<3, a função definida pela soma da série é igual à sua série de Maclaurin.

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