Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
Passo 1
O enunciado apresenta a série de Maclaurin
Queremos (i) determinar o raio de convergência dessa série e o conjunto de
em que ela converge, inclusive nos extremos, e (ii) verificar se, dentro desse raio, a função dada pela soma da série é igual à sua própria série de Taylor.
Passo 2
Usamos o Critério da Raiz para achar o raio
. Seja
Então
Logo, pelo Critério da Raiz, o raio de convergência é
Passo 3
A série converge absolutamente para
. Verificamos os extremos:
que converge condicionalmente por ser alternada e de termo geral decrescente a zero.
que diverge pois é comparável à série
.
Portanto o intervalo de convergência é
Portanto o intervalo de convergência é
e o disco de convergência (campo real) é
, com convergência condicional em
.
Passo 4
Séries de potências definem funções analíticas no interior do disco de convergência. Logo, para
, a soma
é uma função de classe
e coincide com sua série de Taylor (Maclaurin) nessa região.
Resposta
Raio de convergência
; a série converge para
(e convergência condicional em
). Para todo
, a função definida pela soma da série é igual à sua série de Maclaurin.