Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n+1}{2 n}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em a=0
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n+1}{2n}\Bigr)^{n}x^{n}
e pede para determinar seu raio de convergência e verificar se a função definida por essa série é igual à sua própria série de Taylor (Maclaurin). O conteúdo aqui é análise de séries de potências: vamos usar o teste da raiz para achar o raio de convergência e, em seguida, aplicar o teorema que garante que uma série de potências converge para a sua função geradora no interior desse raio.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz: para
a_{n}=\Bigl(\frac{3n+1}{2n}\Bigr)^{n}
calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_{n}x^{n}\bigr|} =\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{3n+1}{2n}\Bigr|\;|x| =\frac{3}{2}\,|x|.
O teste da raiz diz que a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja,
\frac{3}{2}\,|x|<1 \quad\Longrightarrow\quad |x|<\frac{2}{3}.

Passo 3

Portanto o raio de convergência é
R=\frac{2}{3}.
Nos extremos x=\pm\frac{2}{3} temos
a_{n}\Bigl(\pm\frac{2}{3}\Bigr)^{n} =\Bigl(\frac{3n+1}{2n}\cdot\frac{2}{3}\Bigr)^{n} =\Bigl(1+\frac{1}{3n}\Bigr)^{n} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;e^{1/3}\neq0,
logo os termos gerais não tendem a zero e a série diverge em x=\pm\tfrac{2}{3}. Assim a série converge estritamente para
|x|<\frac{2}{3}
e diverge para |x|\ge\frac{2}{3}.

Passo 4

O teorema de séries de potências garante que, dentro do intervalo de convergência |x|<2/3, a soma
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n+1}{2n}\Bigr)^{n}x^{n}
define uma função analítica e que essa função coincide com sua série de Taylor centrada em zero. Em outras palavras, para |x|<2/3 temos
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^{n},
isto é, f é igual à sua série de Maclaurin no interior do disco de convergência.

Resposta

O raio de convergência é
R=\frac{2}{3}.
A série converge para |x|<2/3 e diverge em |x|\ge2/3. A função
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n+1}{2n}\Bigr)^{n}x^{n}
é analítica em |x|<2/3 e coincide com sua série de Taylor (Maclaurin) nesse intervalo.

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