Determine se os sinais são periódicos. Se o sinal for periódico, determine seu período fundamental.
Determine o período fundamental de x(t)=2 \cos (10 t+1)-\sin (4 t-1).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o sinal
x(t)=2\cos\bigl(10\,t+1\bigr)\;-\;\sin\bigl(4\,t-1\bigr)
é periódico e, em caso afirmativo, determinar o seu período fundamental. Vamos usar a teoria de sinais contínuos: um senoide \cos(\omega t+\varphi) ou \sin(\omega t+\varphi) é periódico com período
T = \frac{2\pi}{\omega}.

Passo 2

Calculamos o período do primeiro termo \,2\cos(10\,t+1). A frequência angular é \omega_1=10, logo
T_1 = \frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5}.

Passo 3

Calculamos o período do segundo termo -\sin(4\,t-1). Aqui \omega_2=4, portanto
T_2 = \frac{2\pi}{\omega_2} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Para a soma de duas senoides ser periódica, a razão entre as frequências angulares deve ser racional:
\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\in\mathbb{Q}.
Como é racional, o sinal é periódico. O período fundamental T_0 é o menor T>0 que satisfaz
T = n_1\,T_1 = n_2\,T_2
para inteiros positivos n_1,n_2. Escrevendo
n_1\frac{\pi}{5} \;=\; n_2\frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{n_1}{5} = \frac{n_2}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2\,n_1 = 5\,n_2,
a menor solução inteira é n_1=5, n_2=2. Assim
T_0 = 5\,T_1 = 5\cdot\frac{\pi}{5} = \pi \quad\text{(ou igualmente)}\quad T_0 = 2\,T_2 = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi.

Resposta

O sinal x(t) é periódico e seu período fundamental é
T_0 = \pi.

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