Determine se os sinais x(t)\) abaixo são de energia ou potência e calcule de \(E_{x}\) caso seja um sinal de energia ou \(P_{x}\) caso seja de potência. \(x_{2}(t)= \begin{cases}\cos (3 \pi t), & -3 \leq t<3 \\\\ 0, & \text { fora; }\end{cases}

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x_{2}(t)= \begin{cases} \cos(3\pi t), & -3\le t<3,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede para determinar se é sinal de energia ou potência e, em seguida, calcular E_x (se for sinal de energia) ou P_x (se for sinal de potência). Vamos usar as definições:
– Energia: E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \,dt.
– Potência: P_x = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \,dt.

Passo 2

Observe que x_{2}(t) é de duração finita (não há repetição infinita), pois vale zero fora de [-3,3]. Portanto trata-se de um sinal de energia, pois um sinal de potência típico é periódico ou não se anula fora de um intervalo finito. Aqui, E_x será finita e P_x tenderá a zero.

Passo 3

Calculamos a energia via
E_x = \int_{-\infty}^{\infty} |x_{2}(t)|^2\,dt = \int_{-3}^{3} \cos^2(3\pi t)\,dt.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica
\cos^2\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}
com \theta = 3\pi t. Assim,
E_x = \int_{-3}^{3} \frac{1+\cos(6\pi t)}{2}\,dt = \frac{1}{2}\int_{-3}^{3}1\,dt + \frac{1}{2}\int_{-3}^{3}\cos(6\pi t)\,dt.
A primeira parte é
\frac{1}{2}\int_{-3}^{3}1\,dt = \frac{1}{2}\cdot(3 - (-3)) = \frac{6}{2} = 3.
A segunda parte se anula porque
\int_{-3}^{3}\cos(6\pi t)\,dt = \frac{\sin(6\pi t)}{6\pi}\Big|_{-3}^{3} = \frac{\sin(18\pi)-\sin(-18\pi)}{6\pi} =0.
Logo E_x = 3.

Resposta

O sinal é de energia e
E_x = 3.

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