Determine se o sistema com entrada
e saída
definido para cada uma das equações a seguir é linear ou não:
Passo 1
O enunciado pede: determinar se o sistema com entrada
e saída
definido por
é linear ou não. As informações relevantes que temos:
- A equação explicitamente dada é
. - Não há outra definição no enunciado, portanto vou usar a interpretação usual de
: a operação que extrai a parte par (even) de um sinal. - A definição usual da parte par de um sinal
é
Passo 2
Lembrete do conceito de linearidade de sistemas (a parte teórica, bem mastigada).
- Chamamos de operador
o mapeamento do sinal de entrada para a saída: . - O operador
é linear se satisfaz a propriedade de superposição para quaisquer sinais e quaisquer escalares :
- Explicando: isso significa que primeiro combinar os sinais por
e depois aplicar o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema separadamente a e e então combinar as saídas com os mesmos escalares e . - Se essa igualdade vale para todo
, o sistema é linear; se falhar para algum caso, o sistema é não linear.
Passo 3
Expressar o operador
em forma de operador
e preparar a verificação.
- Definimos
. - Quero verificar se para quaisquer
e escalares vale
Passo 4
Fazer a conta passo a passo (não pule etapas).
- Calcule a ação de
sobre a combinação :
- Agrupando termos com
e com :
- Colocando os coeficientes fora das frações:
- Reconhecendo as partes pares de
e :
- Assim mostramos explicitamente que a propriedade de superposição é satisfeita.
Comentário didático extra (por que isso era esperado): a operação
(inversão no tempo) é linear porque
; somar dois sinais e multiplicar por
também é uma operação linear. A composição e combinação linear de operações lineares resulta numa operação linear — é exatamente o que acontece aqui.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para ganhar intuição (opcional, mas ajuda).
- Tome
e , e . - A parte par de
é . - A parte par de
é . - Então .
- Por outro lado,
, e sua parte par é . - Os dois resultados coincidem, ilustrando a validade da superposição neste caso concreto.
Resposta
Linear