Determine se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido para cada uma das equações a seguir é linear ou não:
y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido por
y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}
é linear ou não. As informações relevantes que temos:
  • A equação explicitamente dada é y(t)=\operatorname{par}\{x(t)\}.
  • Não há outra definição no enunciado, portanto vou usar a interpretação usual de \operatorname{par}: a operação que extrai a parte par (even) de um sinal.
  • A definição usual da parte par de um sinal x(t) é
\operatorname{par}\{x(t)\}=\frac{x(t)+x(-t)}{2}.

Passo 2

Lembrete do conceito de linearidade de sistemas (a parte teórica, bem mastigada).
  • Chamamos de operador T o mapeamento do sinal de entrada para a saída: T[x](t)=y(t).
  • O operador T é linear se satisfaz a propriedade de superposição para quaisquer sinais x_1(t),x_2(t) e quaisquer escalares a,b:
T[a x_1 + b x_2]=a\,T[x_1]+b\,T[x_2].
  • Explicando: isso significa que primeiro combinar os sinais por a x_1+b x_2 e depois aplicar o sistema dá o mesmo resultado que aplicar o sistema separadamente a x_1 e x_2 e então combinar as saídas com os mesmos escalares a e b.
  • Se essa igualdade vale para todo x_1,x_2,a,b, o sistema é linear; se falhar para algum caso, o sistema é não linear.

Passo 3

Expressar o operador \operatorname{par} em forma de operador T e preparar a verificação.
  • Definimos T[x](t)=\operatorname{par}\{x(t)\}=\dfrac{x(t)+x(-t)}{2}.
  • Quero verificar se para quaisquer x_1,x_2 e escalares a,b vale
T[a x_1 + b x_2](t)=a\,T[x_1](t)+b\,T[x_2](t).

Passo 4

Fazer a conta passo a passo (não pule etapas).
  • Calcule a ação de T sobre a combinação a x_1 + b x_2:
T[a x_1 + b x_2](t)=\frac{(a x_1(t)+b x_2(t))+(a x_1(-t)+b x_2(-t))}{2}.
  • Agrupando termos com a e com b:
T[a x_1 + b x_2](t)=\frac{a\bigl(x_1(t)+x_1(-t)\bigr)+b\bigl(x_2(t)+x_2(-t)\bigr)}{2}.
  • Colocando os coeficientes fora das frações:
T[a x_1 + b x_2](t)=a\frac{x_1(t)+x_1(-t)}{2}+b\frac{x_2(t)+x_2(-t)}{2}.
  • Reconhecendo as partes pares de x_1 e x_2:
T[a x_1 + b x_2](t)=a\,T[x_1](t)+b\,T[x_2](t).
  • Assim mostramos explicitamente que a propriedade de superposição é satisfeita.
Comentário didático extra (por que isso era esperado): a operação x(t)\mapsto x(-t) (inversão no tempo) é linear porque (a x_1 + b x_2)(-t)=a x_1(-t)+b x_2(-t); somar dois sinais e multiplicar por 1/2 também é uma operação linear. A composição e combinação linear de operações lineares resulta numa operação linear — é exatamente o que acontece aqui.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para ganhar intuição (opcional, mas ajuda).
  • Tome x_1(t)=t e x_2(t)=1, e a=2,b=3.
  • A parte par de x_1 é \operatorname{par}\{t\}=(t+(-t))/2=0.
  • A parte par de x_2 é \operatorname{par}\{1\}=(1+1)/2=1.
  • Então a\,T[x_1]+b\,T[x_2}=2\cdot 0+3\cdot 1=3.
  • Por outro lado, a x_1+b x_2=2t+3, e sua parte par é ((2t+3)+( -2t+3))/2=(6)/2=3.
  • Os dois resultados coincidem, ilustrando a validade da superposição neste caso concreto.

Resposta

Linear

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