Determine se o sistema com entrada x(t) e saída y(t) definido para cada uma das equações a seguir é linear ou não:
y(t)=\int_{t-1}^{t+1} x(\tau) d \tau

Passo 1

O enunciado dá um sistema com entrada x(t) e saída
y(t)=\int_{t-1}^{t+1} x(\tau)\,d\tau,
e pede para determinar se esse sistema é linear ou não.
Informações relevantes fornecidas:
  • A saída em cada instante t é a integral da entrada x(\tau) no intervalo [\;t-1,\;t+1\;].
  • Os limites de integração dependem de t mas não dependem da entrada x.
    O que se pede: concluir se o operador que associa x(\cdot) a y(\cdot) é linear.

Passo 2

Definição prática de linearidade (o que vamos usar): um sistema L é linear se, para quaisquer sinais x_1(t), x_2(t) e quaisquer escalares a,b,
L\big[a\,x_1 + b\,x_2\big](t)=a\,L[x_1](t)+b\,L[x_2](t)\quad\text{para todo }t.
Essa condição engloba duas propriedades: homogeneidade ( L[cx]=cL[x]) e aditividade ( L[x_1+x_2]=L[x_1]+L[x_2]).
Fato matemático que usaremos (linearidade da integral): para quaisquer funções f(\tau), g(\tau) e escalares a,b,
\int_{A}^{B}\big(a f(\tau)+b g(\tau)\big)\,d\tau = a\int_{A}^{B} f(\tau)\,d\tau + b\int_{A}^{B} g(\tau)\,d\tau,
desde que os limites A,B sejam independentes das funções f,g. Aqui os limites são A=t-1 e B=t+1, que dependem de t mas não de x, logo essa propriedade vale ponto a ponto em t.

Passo 3

Aplique a definição ao nosso sistema. Seja L o operador dado. Tome sinais quaisquer x_1 e x_2 e escalares a,b. Então
L\big[a x_1 + b x_2\big](t) = \int_{t-1}^{t+1}\big(a x_1(\tau)+b x_2(\tau)\big)\,d\tau.
Usando a linearidade da integral obtemos
\int_{t-1}^{t+1}\big(a x_1(\tau)+b x_2(\tau)\big)\,d\tau = a\int_{t-1}^{t+1} x_1(\tau)\,d\tau + b\int_{t-1}^{t+1} x_2(\tau)\,d\tau.
Pelo próprio nome das saídas correspondentes, isso é
a\,L[x_1](t)+b\,L[x_2](t).
Portanto vale a propriedade de superposição para todos x_1,x_2,a,b.

Passo 4

Verificação por partes (homogeneidade + aditividade) — um cheirinho extra para fixar:
  • Homogeneidade: para escalar c,
L[c x](t)=\int_{t-1}^{t+1} c\,x(\tau)\,d\tau = c\int_{t-1}^{t+1} x(\tau)\,d\tau = c\,L[x](t).
  • Aditividade:
L[x_1+x_2](t)=\int_{t-1}^{t+1}\big(x_1(\tau)+x_2(\tau)\big)\,d\tau =\int_{t-1}^{t+1}x_1(\tau)\,d\tau+\int_{t-1}^{t+1}x_2(\tau)\,d\tau = L[x_1](t)+L[x_2](t).
Exemplo numérico rápido para intuição: se x_1(\tau)=1 então L[x_1](t)=\int_{t-1}^{t+1}1\,d\tau=2. Se x_2(\tau)=\tau então
L[x_2](t)=\int_{t-1}^{t+1}\tau\,d\tau=\left.\frac{\tau^2}{2}\right|_{t-1}^{t+1}=2t.
Logo L[x_1+x_2](t)=2+2t=L[x_1](t)+L[x_2](t), consistente com linearidade.

Passo 5

Conclusão: como a aplicação do operador ao combo linear a x_1+b x_2 gera exatamente aL[x_1]+bL[x_2] para todo t, o sistema satisfaz superposição e, portanto, é linear. Força aí — lembrar que integrar sobre um intervalo que depende de t não estraga a linearidade enquanto os limites não dependam de x.

Resposta

O sistema é linear.

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