Determine a solução geral das EDOs a seguir explicitamente (quando possível).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a solução geral explícita. Informações importantes dadas:
- A variável independente é
e a dependente é . - A equação é válida para
, portanto podemos dividir por sem problemas. - Quer-se a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Colocamos a equação na forma linear padrão
. Como
podemos dividir por
:
Aqui identifiquei
Passo 3
Vou aplicar o método do fator integrante. Ideia (explicada passo a passo):
- Para uma equação linear
existe um fator integrante tal que, ao multiplicar ambos os lados por , o lado esquerdo vira a derivada de :
- Portanto escolhemos
de modo que . Assim satisfaz e tem a expressão
Essa
transforma a equação em
, que é imediata de integrar.
Passo 4
Calculo o fator integrante usando
:
onde usei que
para retirar o valor absoluto do
. (Constante multiplicativa pode ser tomada igual a 1.)
Passo 5
Multiplico a equação padrão por
. Obtenho
Reconheço o lado esquerdo como a derivada de
, pois
Logo a equação fica
Passo 6
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (constante real arbitrária).
Passo 7
Multiplico por
para obter
:
Este é o resultado em forma explícita;
.
Passo 8
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
a partir de
.
Primeiro, derivando por produto:
Primeiro, derivando
Então
Agora compute
:
que coincide com o termo do enunciado. A solução está correta.
Passo 9
Conclusão e observação final: a solução geral encontrada é válida para
(domínio dado) e contém uma constante arbitrária
. Boa! Essa foi a técnica padrão de fator integrante — funciona sempre para equações lineares de 1ª ordem.