Determine a solução geral das EDOs a seguir explicitamente (quando possível).
x y^{\prime}-y=x^{2} e^{-x}, x>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x\,y' - y = x^{2}e^{-x},\qquad x>0,
e pede a solução geral explícita. Informações importantes dadas:
  • A variável independente é x e a dependente é y(x).
  • A equação é válida para x>0, portanto podemos dividir por x sem problemas.
  • Quer-se a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Colocamos a equação na forma linear padrão y'+P(x)y=Q(x). Como x>0 podemos dividir por x:
y' - \frac{1}{x}\,y = x e^{-x}.
Aqui identifiquei
P(x) = -\frac{1}{x},\qquad Q(x)=x e^{-x}.

Passo 3

Vou aplicar o método do fator integrante. Ideia (explicada passo a passo):
  • Para uma equação linear y'+P(x)y=Q(x) existe um fator integrante \mu(x) tal que, ao multiplicar ambos os lados por \mu, o lado esquerdo vira a derivada de \mu y:
(\mu y)' = \mu y' + \mu' y = \mu\bigl(y' + \frac{\mu'}{\mu}y\bigr).
  • Portanto escolhemos \mu de modo que \dfrac{\mu'}{\mu}=P(x). Assim \mu satisfaz \mu' = P(x)\mu e tem a expressão
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Essa \mu transforma a equação em (\mu y)' = \mu Q, que é imediata de integrar.

Passo 4

Calculo o fator integrante usando P(x)=-\dfrac{1}{x}:
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=\exp(-\ln x)=x^{-1},
onde usei que x>0 para retirar o valor absoluto do \ln. (Constante multiplicativa pode ser tomada igual a 1.)

Passo 5

Multiplico a equação padrão por \mu(x)=\dfrac{1}{x}. Obtenho
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y = e^{-x}.
Reconheço o lado esquerdo como a derivada de y/x, pois
\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{x y' - y}{x^{2}}=\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^{2}}y.
Logo a equação fica
\left(\frac{y}{x}\right)' = e^{-x}.

Passo 6

Integro ambos os lados em relação a x:
\frac{y}{x} = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração (constante real arbitrária).

Passo 7

Multiplico por x para obter y:
y = x\bigl(-e^{-x}+C\bigr) = -x e^{-x} + Cx.
Este é o resultado em forma explícita; C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule y' a partir de y=-x e^{-x}+Cx.
Primeiro, derivando -x e^{-x} por produto:
\frac{d}{dx}\bigl(-x e^{-x}\bigr) = -\bigl(e^{-x}-x e^{-x}\bigr) = e^{-x}(x-1).
Então
y' = e^{-x}(x-1) + C.
Agora compute x y' - y:
x y' - y = x\bigl(e^{-x}(x-1)+C\bigr) - \bigl(-x e^{-x}+Cx\bigr) = x^{2}e^{-x},
que coincide com o termo do enunciado. A solução está correta.

Passo 9

Conclusão e observação final: a solução geral encontrada é válida para x>0 (domínio dado) e contém uma constante arbitrária C. Boa! Essa foi a técnica padrão de fator integrante — funciona sempre para equações lineares de 1ª ordem.

Resposta

y=-x e^{-x}+Cx,\; C\in\mathbb{R},\\ x>0

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