Determine a solução geral das EDOs a seguir explicitamente (quando possível).
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que é pedido: encontrar a solução geral da EDO explicitamente (ou seja, uma expressão de
em função de
contendo a constante de integração).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é
e . - A equação é dada para
, portanto nunca é zero no intervalo considerado (podemos dividir por ). - A solução deve ser válida para todo
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. Como
no domínio
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui identifiquei
e
. Em uma EDO linear na forma
usa-se o fator integrante
. Vou aplicar isso.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
Logo
Como o domínio é
, temos
e portanto
Observação importante: o valor absoluto aparece por causa do logaritmo, mas restringindo ao domínio
obtemos
. Esse
satisfaz
.
Passo 4
Multiplicar a equação já na forma padrão por
. Multiplicando
Isso dá
Pelo cálculo do fator integrante sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é
(Pode-se verificar:
, então
.)
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Note que
, por isso a integral de
é
.
Passo 6
Voltar a
e isolar
. Como
, tem-se
Multiplicando por
:
É habitual renomear a constante de integração (pois
também é uma constante arbitrária). Definindo
(onde
), obtemos a forma mais compacta
Passo 7
Verificação rápida (só para confirmar): tomar
. Calculando a derivada:
Então
que é exatamente o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.