Determine a solução geral das EDOs a seguir explicitamente (quando possível).
x y^{\prime}-y=x^{2} e^{-x}, x<0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y' - y = x^{2} e^{-x},\qquad x<0.
O que é pedido: encontrar a solução geral da EDO explicitamente (ou seja, uma expressão de y em função de x contendo a constante de integração).
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é y=y(x) e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é dada para x<0, portanto x nunca é zero no intervalo considerado (podemos dividir por x).
  • A solução deve ser válida para todo x<0.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. Como x\neq0 no domínio x<0, dividimos ambos os lados por x:
y' - \frac{1}{x}\,y = x\,e^{-x}.
Aqui identifiquei p(x) = -\dfrac{1}{x} e q(x)=x e^{-x}. Em uma EDO linear na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
usa-se o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Vou aplicar isso.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\int p(x)\,dx = \int \left(-\frac{1}{x}\right)dx = -\ln|x|.
Logo
\mu(x)=e^{-\ln|x|}=|x|^{-1}.
Como o domínio é x<0, temos |x|=-x e portanto
\mu(x)=\frac{1}{|x|}=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}.
Observação importante: o valor absoluto aparece por causa do logaritmo, mas restringindo ao domínio x<0 obtemos \mu(x)=-1/x. Esse \mu satisfaz \dfrac{\mu'}{\mu}=p(x).

Passo 4

Multiplicar a equação já na forma padrão por \mu(x)=-\dfrac{1}{x}. Multiplicando
\left(-\frac{1}{x}\right)\left(y' - \frac{1}{x}y\right)=\left(-\frac{1}{x}\right)\left(x e^{-x}\right).
Isso dá
-\frac{1}{x}y' + \frac{1}{x^{2}}y = -e^{-x}.
Pelo cálculo do fator integrante sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(x)\,y, isto é
\left(\mu(x)\,y\right)' = -e^{-x}.
(Pode-se verificar: \mu' = \dfrac{d}{dx}\big(-\tfrac{1}{x}\big)=\tfrac{1}{x^{2}}, então \mu y' + \mu' y = -\tfrac{1}{x}y' + \tfrac{1}{x^{2}}y.)

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\mu(x)\,y = \int -e^{-x}\,dx = e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração. Note que \dfrac{d}{dx}\big(e^{-x}\big) = -e^{-x}, por isso a integral de -e^{-x} é e^{-x}.

Passo 6

Voltar a \mu(x) e isolar y. Como \mu(x)=-\dfrac{1}{x}, tem-se
-\frac{1}{x}\,y = e^{-x} + C.
Multiplicando por -x:
y = -x e^{-x} - C x.
É habitual renomear a constante de integração (pois -C também é uma constante arbitrária). Definindo C_{1}=-C (onde C_{1}\in\mathbb{R}), obtemos a forma mais compacta
y = x\big(C_{1} - e^{-x}\big).

Passo 7

Verificação rápida (só para confirmar): tomar y = -x e^{-x} - C x. Calculando a derivada:
y' = (x-1)e^{-x} - C.
Então
x y' - y = x\big((x-1)e^{-x} - C\big) - \big(-x e^{-x} - C x\big) = \big(x(x-1)+x\big)e^{-x} = x^{2} e^{-x},
que é exatamente o lado direito da EDO. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=x\big(C - e^{-x}\big),\qquad x<0,\\ \text{com }C\in\mathbb{R}

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