Determine a solução geral da equação diferencial 3y′′−3y′−6y=0
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial $ 3y’’ - 3y’ - 6y = 0 $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar formar e resolver a equação característica dessa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial:
- Coeficiente de $ y’’ $ (segunda derivada): 3
- Coeficiente de $ y’ $ (primeira derivada): -3
- Coeficiente de $ y $ (função original): -6
Agora, vamos formar a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, para nossa equação $ r^2 - r - 2 = 0 $:
- $ a = 1 $
- $ b = -1 $
- $ c = -2 $
Substituindo esses valores:
Então, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas ($ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $), a solução geral será uma combinação linear das exponenciais dessas raízes:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: