Determine a solução geral da equação diferencial 3y′′−3y′−6y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a solução geral da equação diferencial $ 3y’’ - 3y’ - 6y = 0 $. Estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar formar e resolver a equação característica dessa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação diferencial:
  • Coeficiente de $ y’’ $ (segunda derivada): 3
  • Coeficiente de $ y’ $ (primeira derivada): -3
  • Coeficiente de $ y $ (função original): -6
Agora, vamos formar a equação característica substituindo $ y’’ $ por $ r^2 $, $ y’ $ por $ r $ e $ y $ por 1:
y''

Passo 3

Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 3:
r^2 - r - 2 = 0
Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Onde, para nossa equação $ r^2 - r - 2 = 0 $:
  • $ a = 1 $
  • $ b = -1 $
  • $ c = -2 $
Substituindo esses valores:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Então, temos duas raízes:
r^2 - r - 2 = 0

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos montar a solução geral da equação diferencial. Como as raízes são reais e distintas ($ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $), a solução geral será uma combinação linear das exponenciais dessas raízes:
r1 = 2
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^2x + C2 e^-x

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