Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção.
A) Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B) Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C) Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D) Lados iguais e com dimensão de 0,63m
A) Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B) Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C) Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D) Lados iguais e com dimensão de 0,63m
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma caixa sem tampa, com base quadrada e volume de 1 m³. O objetivo é encontrar as dimensões que usam a menor quantidade de material possível, ou seja, minimizar a área total da caixa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de otimização na matemática, especificamente derivadas para encontrar mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- x: lado da base quadrada da caixa.
- h: altura da caixa.
Como a base é quadrada, a área da base será $ x^2 $.
Passo 3
Sabemos que o volume (V) da caixa é dado por:
Isso nos permite expressar a altura h em função de x:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área total (S) da caixa, que inclui a base e as quatro laterais:
Substituindo h pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor de x que minimiza a área total S, vamos derivar S em relação a x e igualar a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Passo 7
Encontramos que o lado da base x deve ser aproximadamente 1,26 metros para minimizar a quantidade de material usado na caixa. No entanto, olhando as opções fornecidas, nenhuma corresponde exatamente a esse valor. A opção mais próxima seria:
A) Lados iguais e com dimensão de 0,93m
Mas como nosso cálculo resultou em 1,26m, parece que há uma discrepância entre as opções e o resultado correto. É importante revisar os cálculos ou verificar se há alguma informação adicional na questão que possa influenciar a resposta.
Resposta
Nenhuma das opções corresponde exatamente ao valor calculado. A dimensão correta para minimizar o material é aproximadamente 1,26 metros.