Suponha a confecção de uma caixa de lados regulares com base quadrada, sem tampa, com 1 m³ de volume. Determine as dimensões que exigem o mínimo de material na confecção.
A) Lados iguais e com dimensão de 0,93m
B) Lados iguais e com dimensão de 0,83m
C) Lados iguais e com dimensão de 0,73m
D) Lados iguais e com dimensão de 0,63m

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que construir uma caixa sem tampa, com base quadrada e volume de 1 m³. O objetivo é encontrar as dimensões que usam a menor quantidade de material possível, ou seja, minimizar a área total da caixa. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de otimização na matemática, especificamente derivadas para encontrar mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis:
  • x: lado da base quadrada da caixa.
  • h: altura da caixa.
Como a base é quadrada, a área da base será $ x^2 $.

Passo 3

Sabemos que o volume (V) da caixa é dado por:
V = x^2 times h = 1 , m³ ³
Isso nos permite expressar a altura h em função de x:
h = 1x^2

Passo 4

Agora, vamos calcular a área total (S) da caixa, que inclui a base e as quatro laterais:
S = Área da base + Área das laterais = x^2 + 4xh ÁÁ
Substituindo h pela expressão que encontramos:
S = x^2 + 4x ( 1x^2 ) = x^2 + 4x

Passo 5

Para encontrar o valor de x que minimiza a área total S, vamos derivar S em relação a x e igualar a derivada a zero:
dSdx = 2x - 4x^2
Igualando a derivada a zero:
2x - 4x^2 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação:
2x = 4x^2 2x^3 = 4 x^3 = 2 x = raiz[3]2 approx 1,26 , m

Passo 7

Encontramos que o lado da base x deve ser aproximadamente 1,26 metros para minimizar a quantidade de material usado na caixa. No entanto, olhando as opções fornecidas, nenhuma corresponde exatamente a esse valor. A opção mais próxima seria:
A) Lados iguais e com dimensão de 0,93m
Mas como nosso cálculo resultou em 1,26m, parece que há uma discrepância entre as opções e o resultado correto. É importante revisar os cálculos ou verificar se há alguma informação adicional na questão que possa influenciar a resposta.

Resposta

Nenhuma das opções corresponde exatamente ao valor calculado. A dimensão correta para minimizar o material é aproximadamente 1,26 metros.

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